Взаимодействие для КЭД с заряженными скалярными частицами

Позволять$\mathcal{L}$— лагранжиан для обычной КЭД со скалярными заряженными частицами (в том числе с фотонами и электронами):

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m \right)\psi - \partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-M^2\phi^*\phi$$

Я пытался показать, что из-за симметрий приведенный выше лагранжиан может быть записан таким же образом, если$\partial_{\mu} \to D_{\mu}$. Однако я должен найти$D_{\mu}$. Симметрия, которую я рассматриваю, такова, что

$$\psi \to \psi e^{i\Lambda(x)}$$ $$\phi \to \phi e^{i\Lambda(x)}$$ $$A_{\mu} \to A_{\mu}-\frac{1}{e}\partial_{\mu}\Lambda(x)$$

Моя попытка

С$\psi$и$\phi$между ними нет пересекающихся терминов, я решил, что мы должны добавить$\mathcal{L}_{int}$(взаимодействия) так, что это отменит термин

$$-e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$$

что является результатом фермионной части. Следовательно,$\mathcal{L}_{int} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$кажется, делает свое дело. Однако бит скалярной частицы, похоже, не упрощается тривиально, так как есть некоторые оставшиеся термины:

$$ieA_{\mu}\left[\left(\partial^{\mu}\phi^*\right)\phi-\phi^*\partial^{\mu}\phi\right]+e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi$$

Это даст$D_{\mu} = \partial_{\mu}+ieA_{\mu}$.

Правильна ли моя процедура? Есть ли более интуитивный способ решения этой проблемы?

Изменить: исправлено неправильное использование концепций, как указано в комментариях.