Сохраняющиеся токи в квантовой электродинамике

Сладкий вопрос.

Пожалуйста, позвольте мне сказать, что глобальные бесконечно малые преобразования, которые вы пишете в начале, являются ничем иным, как бесконечно малыми формами следующих глобальных преобразований.$U(1)$трансформация.

Теперь показанный вами лагранжиан тривиально инвариантен при таких глобальных преобразованиях, но он также инвариантен при локальных преобразованиях:

и нечто подобное для$\bar{\psi}$плюс дополнительный:

где$\lambda$теперь является функцией (пожалуйста, забудьте и исправьте все глупые знаки и множители i ошибок).

На самом деле, интересующий вас лагранжиан обычно получают следующим образом: вы сначала смотрите на лагранжиан Дирака

и заметим, что он инвариантен относительно глобального$U(1)$преобразования. Затем задайтесь вопросом, что произойдет, если вы подумаете о локальных преобразованиях и поймете, что лагранжиан Дирака больше не является инвариантным по той простой причине, что производная рисует дополнительный член, приходящий для$U(1)$фактор. Затем вы переходите к попытке восстановить симметрию, изменяя оператор производной минимальной вещью, о которой вы только могли подумать, добавляя векторное поле и молясь, чтобы эта сумма восстановила симметрию. Симметрия действительно восстанавливается, если вы накладываете, что векторное поле$A_\mu$трансформируется как$A_\mu\rightarrow{}A_\mu-i\partial_\mu\Lambda$(опять же, я могу ошибаться в знаках, потому что уже очень поздно... ХА-ХА-ХА, но я уверен, что вы их исправите).

В конце концов вы думаете… «ЭЙ, я ввел новое поле (векторное поле), и мне бы хотелось, чтобы оно имело и физическую динамику, чтобы система была замкнутой. Но только что найденное мной правило преобразования точно то, что мы обнаружили при изучении электродинамики, поэтому я просто добавлю электромагнитный лагранжиан FF к исходному чистому полю Дирака, чтобы посмотреть, что произойдет».

То, что вы получаете, это лагранжиан, с которого вы начали, и при прямом сравнении со стандартной электродинамикой вы получаете интерпретацию, что$\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$является электромагнитным четырехтоком, и поэтому вы вынуждены рассматривать$\bar{\psi}\gamma^0\psi$как плотность электрического заряда.

В этом есть еще кое-что. С математической точки зрения,$A_\mu$это связь принципала$U(1)$комплект (спросите Хуана Карлоса) и$\psi$является разделом ассоциированного пучка. Местный$U(1)$функции, о которых мы говорили, — это «функции перехода» связки, а правила преобразования — «преобразования guge».

Что касается вашего расчета, то он, как я вам уже говорил, мил, но то, что вы сделали, было (с точностью до граничных условий) доказательством того, что действие электродинамики, связанное с полем Дирака (оно может представлять электроны и их античастицы), является калибровочно-инвариантным ( т.е. инвариантный относительно локальных преобразований)

Также возникает вопрос, с какой стати мы вообще заинтересовались локальными преобразованиями. Что ж, мне нравится представлять множество физиков, проводящих эксперименты в разных лабораториях. Понятно, что если они наблюдают одну и ту же физику, то все они попытаются описать то, что каждый из них видит как заряженные частицы, а их античастицы должны быть описаны Дираком. описываться полем Дирака, квантовая механика говорит, что физика должна быть инвариантной относительно постоянных фазовых изменений, т.е.$U(1)$преобразований, но очень и очень трудно представить, что все физики в своих лабораториях выбирают один и тот же фазовый переход по отношению друг к другу, гораздо разумнее думать, что каждый из них выбирает фазу по своему усмотрению (локальные$U(1)$преобразования)

Я надеюсь, что мог быть чем-то полезен.

С наилучшими пожеланиями

Марио

Я думаю, что в КЭД обычно фиксируют калибровку перед квантованием (например,$A^0=0$или$A^3=0$; то же самое можно сказать и о квантовании Гупта-Блейлера свободного электромагнитного поля). Это разрушает многие калибровочные симметрии лагранжиана, поэтому для них нельзя построить нётеровский ток.