Что делает уравнение «уравнением движения»?

Уравнение движения - это (система) уравнений для основных наблюдаемых системы, включающая производную по времени, для которой корректна некоторая начальная задача.

Таким образом, уравнение неразрывности обычно не является уравнением движения, хотя оно может быть его частью, если токи являются основными полями.

В общем, динамическое уравнение движения или эволюционное уравнение представляет собой (гиперболическое) уравнение второго порядка дифференциального уравнения по времени. Они определяют эволюцию системы.

$\partial_{\mu}F^{i\mu}$является динамическим уравнением.

Однако ограничение — это условие, которое необходимо проверять каждый раз, и, в частности, начальные условия должны проверять ограничения. Поскольку уравнения движения имеют второй порядок по времени, ограничения должны быть не выше первого порядка.

Закон Гаусса$\partial_{\mu}F^{0\mu}$является ограничением, потому что оно включает только первую производную по времени в конфигурационном пространстве, т. е. когда$\bf E$выражается в функции$A_0$а также$\bf A$. Кроме того, закон Гаусса является генератором калибровочных преобразований. В квантовой теории только состояния, аннулируемые законом Гаусса, являются физическими состояниями.

И динамические уравнения, и связи могут называться уравнениями движения или уравнениями Эйлера-Лагранжа заданного функционала действия. Или можно сохранить термин уравнение движения для динамических уравнений. Это вопрос семантики. Важным различием является различие между ограничениями и эволюционными уравнениями.

Законы сохранения следуют в основном из симметрий и теоремы Нётер. Часто, но не всегда, уравнения движения следуют из законов сохранения. Считаете ли вы что-то более фундаментальным, это вопрос личного вкуса.

Уравнение Дирака связывает несколько компонентов спинора Дирака. Каждый компонент подтверждает уравнение Клейна-Гордона, которое является эволюционным уравнением второго порядка.

ОП написал (v2):

Что делает уравнение «уравнением движения»?

Как упоминает Давид Заславский в комментарии, в целом точного определения не существует. Грубо говоря, уравнения движения - это эволюционные уравнения , с помощью которых можно определить будущее (и прошлое) поведение динамических переменных.

Однако, если теория имеет принцип действия , то в сообществе физиков существует прецедент, см., например, Ref. 1. Тогда только уравнения Эйлера-Лагранжа традиционно называют «уравнениями движения», независимо от того, являются ли они динамическими уравнениями (т. е. содержат производные по времени) или ограничениями (т. е. не содержат производных по времени).

Использованная литература:

1. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, 1994.

В теории поля закон сохранения просто утверждает, что некоторая величина сохраняется: если$\partial_\mu \, \star = 0$куда$\star$это вектор или тензор, вы можете связать сохраняющийся заряд и т. д. - я думаю, вы знаете, о чем речь.

Ограничения — это то, что вы накладываете вручную (или путем эксперимента).

Наконец, уравнения движения — это динамические уравнения, следующие из уравнения Эйлера-Лагранжа. И уравнение Дирака, и$\partial^\mu F_{\mu \nu} = 0$удовлетворять этому критерию. [Однако, если вы выберете датчик, станет намного яснее, что вы имеете дело с УЧП для поля$A_\mu$, такие как$\square A_\mu = 0.$] Также обратите внимание, что оба они включают$\partial_t$или же$\partial_t^2$. Обратите внимание, что$\nabla \cdot \mathbf{E}$включает только пространственные производные, поэтому не дает динамики.

В вашем примере$\partial^\mu j_\mu = 0$— это классический закон сохранения, который не описывает, как какая-то микроскопическая величина изменяется во времени — вы не выводите его из теории Эйлера-Лагранжа.