Объем фазового пространства не меняется при каноническом преобразовании

Умножить на блоки:

$A= \left[ {\begin{array}{cc} \partial _{q}Q & \partial _{p}Q \\ \partial _{q}P & \partial _{p}P \\ \end{array} } \right]$,$A^{t}= \left[ {\begin{array}{cc} (\partial _{q}Q)^{t} & (\partial _{p}Q)^{t} \\ (\partial _{q}P)^{t} & (\partial _{p}P)^{t} \\ \end{array} } \right]$и поэтому$JA^{t}= \left[ {\begin{array}{cc} (\partial _{p}Q)^{t} & (\partial _{p}P)^{t} \\ -(\partial _{q}Q)^{t} & -(\partial _{q}P)^{t} \\ \end{array} } \right]$.

Теперь, например$(AJA^{t})_{11}=\partial _{q}Q(\partial _{p}Q)^{t}-\partial _{p}Q(\partial _{q}Q)^{t}$.

Помните, что это уравнение на матрицах. Запишите матрицы явно, например$(\partial _{q}Q)_{ij}=\frac {\partial Q_{i}} {\partial q_{j}}$,$(\partial _{p}Q)^{t}_{ij}=\frac {\partial Q_{j}} {\partial q_{i}}$, и подставляем их в уравнение выше, выполняем матричное умножение и получаем скобки Пуассона.