Можно ли назвать любой симплектоморфизм каноническим преобразованием?

Я просто хочу убедиться, что ясно думаю о канонических координатах и ​​преобразованиях в гамильтоновой механике.

Предположим, у нас есть гамильтонова система$(M, \omega, H)$- где$M$фазовое пространство ($\dim(M)=2n$, хотя$M$не обязательно является кокасательным расслоением глобально),$\omega$- симплектическая структура (невырожденная, замкнутая 2-форма), и$H$это функция на$M$служит гамильтонианом. Теперь предположим, что у нас есть две перекрывающиеся карты координат.$\phi\colon U \rightarrow V \subset \mathbb{R}^{2n}$и$\psi: U \rightarrow W \subset \mathbb{R}^{2n}$, для некоторых открытых$U \subset M$. Преобразование координат$\psi\circ\phi^{-1}\colon V \rightarrow W$является симплектоморфизмом, так как это просто тождественная карта, выраженная в разных координатах: точнее,$\psi\circ\phi^{-1}\colon (V, \phi_{*}\omega) \rightarrow (W, \psi_{*}\omega)$тривиально удовлетворяет$\phi_{*}\omega = (\psi\circ\phi^{-1})^{*}\psi_{*}\omega$. Но мы не назвали бы такое преобразование координат каноническим, если бы$\phi$и$\psi$были ли обе канонические координаты (или диаграммы Дарбу) для начала, верно? Например, один определяющий критерий канонических преобразований, часто приводимый в текстах по физике, состоит в том, что матрица Якоби преобразования является симплектической матрицей... так называемое симплектическое условие. Здесь,$(\psi\circ\phi^{-1})_{*}$является симплектической матрицей, только если оба$\phi$и$\psi$— канонические координаты. Итак, можем ли мы заключить, что не все симплектоморфизмы являются каноническими преобразованиями?