Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Question

Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Математика
динамические системы
обыкновенные дифференциальные уравнения

Сейриос

Меня интересуют приложения теоремы Пуанкаре-Бендиксона, не связанные (явно) с ОДУ.

Позволять $X \in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ , $(t_0,x_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$ и $x \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}^2)$ решение для ИВП $\begin{cases}x'=X(x) \\ x(t_0)=x_0\end{cases}$

The $\omega$ -лимит _ $x_0$ (или из $x$ ) является $\omega(x_0)=\{ y \in \mathbb{R}^2 : \exists (t_n) \ \text{such that} \ t_n \to + \infty, \ x(t_n)\to y \}$ .

Теорема (Пуанкаре-Бендиксона)

Если $\omega(x_0)$ непусто, компактно и не содержит ни одного нуля $X$ , затем $\omega(x_0)$ является периодической орбитой.

Некоторые последствия:

Теорема ( $C^1$ -версия теоремы Брауэра о неподвижной точке во втором измерении)

Позволять $f : \overline{D} \to \overline{D}$ быть $C^1$ функция с замкнутого единичного диска на себя. Затем $f$ имеет неподвижную точку.

Теорема ( $C^1$ -версия теоремы о волосатом шаре во втором измерении)

А $C^1$ -векторное поле на $\mathbb{S}^2$ имеет ноль.

Знаете ли вы другие следствия теоремы Пуанкаре-Бендиксона, не относящиеся к дифференциальным уравнениям? Например, можно ли так доказать основную теорему алгебры?

нелинейность

Мне было бы интересно узнать, как добраться до теоремы о волосатом мяче от Пуанкаре Бендиксона. У вас есть ссылка?

Сейриос

@nonlinearism: у меня нет ссылки, но просто обратите внимание, что доказательство теоремы Пуанкаре-Бендиксона в

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ можно адаптировать на

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ ; то по компактности

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ , любой

ω

$\omega$ -limit непусто, поэтому

ω

$\omega$ -предел либо содержит нуль, либо является периодической орбитой. Однако область, ограниченная периодической орбитой, обязательно содержит нуль.

Сарагоса

@Seirios Меня также интересуют применения теоремы Пуанкаре-Бендиксона, которые не имеют ничего общего с ОДУ. Вы нашли еще несколько или у вас есть ссылка, где я могу их найти? Пожалуйста... Это было бы очень полезно для меня. заранее спасибо

Ответы (1)

Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Мне было бы интересно узнать, как добраться до теоремы о волосатом мяче от Пуанкаре Бендиксона. У вас есть ссылка?
@nonlinearism: у меня нет ссылки, но просто обратите внимание, что доказательство теоремы Пуанкаре-Бендиксона в $\mathbb{R}^2$ можно адаптировать на $\mathbb{S}^2$ ; то по компактности $\mathbb{S}^2$ , любой $\omega$ -limit непусто, поэтому $\omega$ -предел либо содержит нуль, либо является периодической орбитой. Однако область, ограниченная периодической орбитой, обязательно содержит нуль.
@Seirios Меня также интересуют применения теоремы Пуанкаре-Бендиксона, которые не имеют ничего общего с ОДУ. Вы нашли еще несколько или у вас есть ссылка, где я могу их найти? Пожалуйста... Это было бы очень полезно для меня. заранее спасибо

Сейриос · Answer 1

Отвечаю на свой второй вопрос, доказывая основную теорему алгебры из теоремы Пуанкаре-Бендиксона:

Предположим противное, что существует многочлен $P \in \mathbb{C}[X]$ такой, что $P(z) \neq 0$ для всех $z \in \mathbb{C}$ . Тогда функция $z \mapsto 1/P(z)$ определяет векторное поле $X$ на $\mathbb{C}$ . Ясно, что существует $R>0$ такой, что

\frac{1}{| п (г) |} < | г | для всех | г | "=" р .

$\frac{1}{|P(z)|} < |z| \ \ \text{for all} \ |z|=R.$

Следовательно, если $B$ обозначает замкнутый шар радиуса $R$ в центре $0$ , $X$ определяется на $B$ и указывает внутрь на $\partial B$ : $B$ устойчив под течением $X$ . Наконец, достаточно применить теорему Пуанкаре-Бендиксона, чтобы найти предельный цикл (в силу компактности $\omega$ -limit не может быть пустым); но предельный цикл (как и кривая Жордана) всегда содержит неподвижную точку (см., например, здесь ), противоречие (очевидно, $X$ — ненулевое векторное поле).

Насколько верно, что все векторы на $\partial B$ указывает внутрь??
Как уже упоминалось, потому что $B$ устойчив под течением $X$ . Если какой-то вектор на $\partial B$ указывает наружу, то соответствующая точка будет отправлена наружу $B$ по течению.

Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Сейриос

нелинейность

Сейриос

Сарагоса

Ответы (1)

Сейриос

РЕНДЖИТ Т

Сейриос

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Энергетическая функция маятника

Подразумевает ли глобальная устойчивость по Ляпунову единственное равновесие?

Путаница с теоремой Пуанкаре-Бендиксона

Пространство состояний со второй производной входной переменной

Динамическая система - уравнение Дуффинга

Требование устойчивости по Ляпунову в асимптотической устойчивости.

Приложения теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Использование определения δδ\delta-εε\varepsilon для доказательства устойчивости автономной системы