Использование определения δδ\delta-εε\varepsilon для доказательства устойчивости автономной системы

Question

Использование определения δδ\delta-εε\varepsilon для доказательства устойчивости автономной системы

Математика
эпсилон-дельта
реальный анализ
динамические системы
стабильность в одах
обыкновенные дифференциальные уравнения

Демерзель

Я хочу доказать, что точка равновесия простой автономной системы устойчива, используя $\delta$ - $\varepsilon$ определение. Под «автономной системой» я подразумеваю систему, которая явно не зависит от времени, т. $f(t,x)=f(x)$ .

Мои критерии устойчивости (в смысле Ляпунова):

\forall ε > 0, \exists дельта > 0 : ‖ Икс (0) ‖ < дельта ⟹ \forall т е р_{+} ‖ Икс (т) ‖ < ε

$\forall \varepsilon > 0,\;\exists \delta > 0: \|x(0)\| < \delta \implies \forall t \in \mathbb{R}_+ \; \|x(t)\|<\varepsilon$

Рассмотрим простую одномерную систему вида:

\dot{Икс} "=" - Икс + {Икс}^{2}

$\dot{x}=-x+x^2$ имеет две точки равновесия, а именно

x_{e, 1} = 0

$x_{e,1}=0$ и

x_{e, 2} = 1

$x_{e,2}=1$ , решая

\dot{x} = 0

$\dot{x}=0$ .

Я хочу показать это $x_{e,1}$ стабилен, найдя $\delta=\delta(\varepsilon)$ который удовлетворяет моим критериям стабильности. Построив систему с различными начальными условиями, я знаю, что $x_{e,1}$ также привлекательна, но что мне делать дальше? Как я мог найти право $\delta(\varepsilon)$ ?

Лутц Леманн

Это определение устойчивости имеет больше смысла в более высоких измерениях, например, в 2D с евклидовой метрикой и системой ОДУ, которая имеет «эллиптические» спирали к точке равновесия, так что радиус вдоль траектории не является монотонным, он колеблется с падающей амплитудой.

Ответы (1)

Использование определения δδ\delta-εε\varepsilon для доказательства устойчивости автономной системы

Это определение устойчивости имеет больше смысла в более высоких измерениях, например, в 2D с евклидовой метрикой и системой ОДУ, которая имеет «эллиптические» спирали к точке равновесия, так что радиус вдоль траектории не является монотонным, он колеблется с падающей амплитудой.

АВК · Answer 1

Решение задачи о начальных значениях

\dot{Икс} "=" - Икс + {Икс}^{2}, Икс (0) "=" {Икс}_{0}

$\dot{x}=-x+x^2,\quad x(0)=x_0$ является

Икс (т) "=" \frac{1}{1 - (1 - 1 / {Икс}_{0}) е^{т}} .

$x(t)=\frac1{1-(1-1/{x_0})e^t}.$ Его производная

\dot{Икс} (т) "=" \frac{(1 - 1 / {Икс}_{0}) е^{т}}{(1 - (1 - 1 / {Икс}_{0}) е^{т})^{2}} .

$\dot x(t)= \frac{(1-1/x_0)e^t}{(1-(1-1/{x_0})e^t)^2}.$ Обратите внимание, что знаменатель этой дроби не может быть равен нулю, если

t \geq 0

$t\geq 0$ .

Позволять $x_0\in(-1,1)\setminus\{0\}$ . У нас есть $1-\frac1{x_0}<0$ если $x_0\in(0,1)$ и $1-\frac1{x_0}>0$ если $x_0\in(-1,0)$ , таким образом $\dot x(t)$ положительный ( $x(t)$ монотонно возрастает), если $x_0\in(-1,0)$ и $\dot x(t)$ отрицательно ( $x(t)$ монотонно убывает), если $x_0\in(0,1)$ . Поскольку решение начальной задачи не может пересечь точку равновесия $x=0$ , его норма $\|x(t)\|$ монотонно убывает для всех $t\ge 0$ и $x_0\in(-1,1)\setminus\{0\}$ . Это означает, что мы можем выбрать $\delta(\varepsilon)= \min(\varepsilon,1)$ в определении стабильности.

Использование определения δδ\delta-εε\varepsilon для доказательства устойчивости автономной системы

Демерзель

Лутц Леманн

Ответы (1)

АВК

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Энергетическая функция маятника

Подразумевает ли глобальная устойчивость по Ляпунову единственное равновесие?

Требование устойчивости по Ляпунову в асимптотической устойчивости.

Глобальная устойчивость против глобальной асимптотической устойчивости

Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Функция, градиент которой имеет постоянную норму на множествах уровня

Применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона

δδ\дельта-ответ на вызов limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} с ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

Понимание ε−δε−δ\varepsilon-\delta доказательства limx→3f(x)=9limx→3f(x)=9\underset{x\to 3}{\lim}{f(x)}=9 с е (х) = х2f (х) = х2f (х) = х ^ 2