Применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Название вводит в заблуждение: критерий Бендикссона, что следует использовать, утверждает, что для системы

$$\begin{align} x'&=f(x,y)\\y'&=g(x,y) \end{align}$$ если $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\neq 0$в односвязной области $R$, то система не имеет замкнутой траектории внутри $R$. (См., например , http://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/lc.pdf для доказательства)

Теперь в вашем случае, прежде всего, обратите внимание, что оси инвариантны, поэтому никакая замкнутая траектория не может коснуться одной из них. Затем внутри любого из квадрантов вычислите:

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y} &= 3y^2-2xy+5x^2-2xy =3\left(y^2-\frac{4}{3}xy+\frac{5}{3}x^2\right) \\ &= 3 \left(\left(y-\frac{2}{3}x\right)^2+\frac{5}{2}x^2\right)>0 \end{aligned}$$ поскольку любой (строгий) квадрант исключает начало координат, а вывод следует из критерия Бендиксона.

Я дам решение вашей нелинейной системы

$$\frac{dx}{dt}=3xy^2-x^2y$$ и $$\frac{dy}{dt}=5x^2y-xy^2$$ Разделив уравнение 2 на уравнение 1, мы получим $$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2y-xy^2}{3xy^2-x^2y}$$ Теперь, разделив на $x^3$и в числителе, и в знаменателе получаем, что $$\frac{dy}{dx}=\frac{5\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^2}{3(\frac{y}{x})^2-\frac{y}{x}}$$

Позволять$y=x \cdot v$затем$\frac{dy}{dx}=x\frac{dv}{dx}+v$, таким образом, DE преобразуется в отделимое уравнение.

$$x\frac{dv}{dx}+v=\frac{5v-v^2}{3v^2-v}=\frac{5-v}{3v-1},$$ поэтому

$$x\frac{dv}{dx}=\frac{5-v-3v^2+v}{3v-1}=\frac{5-3v^2}{3v-1}$$

$$\Rightarrow \frac{3v-1}{5-3v^2}dv=\frac{dx}{x}$$

$$\Rightarrow \int{\frac{3v-1}{5-3v^2}dv}=\int{\frac{dx}{x}}$$

Параметр$\sqrt {\frac{3}{5}} v= \sin \theta \Rightarrow \sqrt {\frac{5}{3}} \cos \theta d\theta = dv$, затем

$$\int{\frac{3\sqrt {\frac{5}{3}} \sin \theta -1}{5(1- \sin^2 \theta) }\sqrt {\frac{5}{3}} \cos \theta d\theta}=\int{\frac{dx}{x}}$$

так что

$$\int{\frac{3\sqrt {\frac{5}{3}} \sin \theta -1}{5(1- \sin^2 \theta) }\sqrt {\frac{5}{3}} \cos \theta d\theta}=\int {\tan \theta d\theta } - \sqrt {\frac{5}{3}} \frac{1}{5}\int {\sec \theta d\theta } \\ = - \ln \left| {\cos \theta } \right| - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|$$

Отсюда решение,

$$- \ln \left| {\cos \theta } \right| - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right| =\ln \left| {x } \right| +C$$ Наконец, мы можем записать результат как

$$\left| {\cos \theta } \right|\cdot \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|^{{\textstyle{1 \over {\sqrt {15} }}}} =\frac{k}{x}$$ где $k=\exp(-C)$.