Кинетическая энергия и сохранение импульса при взрыве?

Формула импульса не$p=mv$но это$\vec p=m\vec v$. При этом после взрыва увеличились скорости осколков, а вместе с ними и кинетическая энергия всей системы (химическая энергия$\rightarrow$кинетическая энергия взрыва), но чистый импульс не меняется. Если до взрыва система имела нулевой суммарный импульс, то после взрыва она будет иметь такой же (нулевой) импульс.

Рассмотрим систему$N$фрагменты масс$m_1,m_2,m_3....m_N$которые выбрасываются после взрыва с разной скоростью$v_1,v_2,v_3,....v_N$в другом направлении. О чем говорит закон сохранения импульса:

$$\vec P_{net}\text{before explosion} =\vec P_{net} \text{after explosion}$$ $$0=\vec P_{net} \text{after explosion}=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2+....m_N\vec v_N=\Sigma_{i=1}^{N} m_i\vec v_i$$ $$\sum_{i=1}^{N}m_i \vec v_i=0$$ Это означает, что взвешенная по массе векторная сумма скоростей всех фрагментов должна быть равна нулю, чтобы суммарный импульс системы был равен нулю, они могут иметь индивидуальные ненулевые величины и, следовательно, ненулевые индивидуальные импульсы.

Если начальный импульс не равен нулю, а$\vec {p_f}$затем

$$\vec {p_f}=\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i$$

Это может быть легче понять, если вы подумаете о более простом случае, когда «петарда» состоит только из двух масс. Предположим, что две массы по 40 г каждая, и когда устройство взрывается, каждая масса летит в противоположном направлении со скоростью 130 м/с.

Перед взрывом совокупная масса 80 г движется вправо со скоростью 1 м/с. Следовательно, его импульс равен 80 г/с вправо. Его кинетическая энергия равна ½ * 80 г * (1 м/с) ² = 40 мДж.

После взрыва 40 г движется вправо со скоростью 131 м/с, а остальные 40 г — влево со скоростью 129 м/с. Общий импульс равен (-129 м/с * 40 г) + (+131 м/с * 40 г), что равно тем же 80 г/с, что и раньше. Однако кинетическая энергия теперь совсем другая:

½ * 40 г * (129 м/с) ² + ½ * 40 г * (131 м/с) ² = 676 Дж

А поскольку K увеличилось, v увеличилось, и, следовательно, p=mv должно увеличиться?

Для отдельной частицы да . Для системы частиц нет .

Рассмотрим две одинаковые частицы, расположенные вместе и первоначально покоящиеся. В начальном состоянии покоя полная кинетическая энергия равна нулю, а полный импульс равен нулю.

Теперь, благодаря какому-то механизму, частицы отправляются в противоположных направлениях с одинаковой скоростью, поэтому импульсы равны и противоположны, таким образом, общий импульс равен нулю, даже если отдельные импульсы не равны .

$$p = mv + m (-v) = m(v-v) = 0$$

Однако кинетическая энергия каждой частицы одинакова, поскольку KE зависит от скорости , а не от скорости. Таким образом, общая КЭ в два раза больше индивидуальной КЭ.

$$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$$