Как рассчитать частично упругое и частично неупругое столкновение?

Не существует такой вещи, как «частично упругое» столкновение. Классические столкновения между частицами можно разделить на две категории: упругие и неупругие. Упругие столкновения определяются как столкновения, при которых энергия не покидает систему (т.е.$E_i = E_f$). Все остальные столкновения неупругие, так как часть энергии теряется ($E_i > E_f$). Совершенно неупругое столкновение - это тип неупругого столкновения, при котором вся кинетическая энергия системы теряется ($E_f = 0$).

Редактировать: я должен упомянуть, что эти определения относятся к системе отсчета CM (центр масс). Для не-CM системы отсчета совершенно неупругое столкновение становится столкновением, при котором теряется максимальное количество кинетической энергии. Спасибо Дэвиду З. за упоминание об этом.

Совершенно упругие и совершенно неупругие столкновения — это лишь предельные случаи в масштабе сохранения кинетической энергии. Как отмечено в ответе @Nathan, если вы работаете в рамке центра масс, совершенно неупругое столкновение приводит к сохранению 0% кинетической энергии, в то время как при идеально упругих столкновениях сохраняется 100% кинетической энергии. Итак, вам просто нужен способ масштабирования между этими двумя ограничивающими точками.

Во всех случаях импульс будет сохраняться. Если мы решим работать в системе СМ, то это всегда ноль, и$v_1m_1 = -v_2m_2$до столкновения и$v_1'm_1' = -v_2'm_2'$после столкновения.

В рамках этих ограничений фактические значения$v_1, v_1', v_2$и$v_2'$зависит от кинетической энергии. КЭ до и после столкновения

$KE = (m_1v_1^2 + m_2v_2^2)/2$

$KE' = (m_1'v_1'^2 + m_2'v_2'^2)/2$

Затем вы выбираете степень неэластичности. Если$\alpha$это доля кинетической энергии, которая сохраняется (так$\alpha = 0$соответствует совершенной неупругости), то

$KE' = \alpha KE$

После того, как вы выбрали значение для$\alpha$, вы можете рассчитать$KE'$от этого и начальные скорости. Учитывая известные значения$KE'$и 0 для кинетической энергии и импульса соответственно, у вас остаются два уравнения (для чистой кинетической энергии и чистого импульса) и два неизвестных ($v_1`$и$v_2'$), которые можно решить алгебраически. Затем вам просто нужно добавить и вычесть скорости для преобразования в кадре CM и из него, и все готово.

Чтобы параметризовать степень неупругости, вы используете « коэффициент восстановления », который равен 1 для упругих процессов и 0 для полностью неупругих процессов.

Для столкновения двух тел это описывается выражением

Это также говорит вам, как вычислить конечное состояние таких событий (при условии, что коэффициент реституции известен). Вы используете (*) в качестве дополнительного ограничения на вашу систему так же, как вы использовали бы равенство кинетической энергии для упругого столкновения.

С математической точки зрения любое столкновение без потери массы описывается двумя уравнениями:

Сохранение энергии:$m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2 + E$

Сохранение импульса:$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$

Вы знаете массы и начальные скорости, так что это сводится к системе двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1', v_2', E$). Чтобы ее решить, вам нужно знать один из этих параметров: энергию, потерянную из-за неупругости, или одну из конечных скоростей.