Почему в формуле кинетической энергии стоит 1/2? [дубликат]

Фактор$\frac12$появляется, потому что мы интегрируем уравнение

$$\frac{\mathrm dE}{\mathrm dv}=mv$$ однажды.

Менее абстрактная и использующая только базовую арифметику история выглядит так:

При ускорении тела приложением (постоянной) силы$F$на расстоянии$\Delta s$, тело получает энергию в соответствии с

$$\Delta E=F\Delta s$$ что является просто определением (механической) работы.

По второму закону Ньютона$F=ma$. У нас также есть$\Delta s \approx v\Delta t$и поэтому

$$\Delta E\approx mav\Delta t$$ Это соотношение является приблизительным, поскольку в течение любого конечного интервала времени $\Delta t$, Значение $v$меняется, поскольку весь смысл упражнения заключался в ускорении тела.

Теперь, как$a\Delta t=\Delta v$у нас есть

$$\Delta E \approx mv\Delta v$$

Но причем здесь фактор$\frac12$Войдите? Из основного исчисления:

$$\Delta(v^2)=(v+\Delta v)^2-v^2=2v\Delta v+(\Delta v)^2\approx 2v\Delta v$$ что дает $$\Delta E\approx\frac12m\Delta(v^2)=\Delta(\frac12 mv^2)$$ и поэтому $$E\approx\frac12 mv^2 + \mathrm{const}$$ Если мы перейдем от конечных к бесконечно малым временным интервалам, уравнения станут точными, и нам больше не нужно предполагать постоянную силу.

---

Краткое введение в дифференциальное исчисление, относящееся к этому конкретному примеру:

Вовремя$t = t_0$тело имеет скорость$v(t_0)=v_0$. Через некоторое время$\Delta t$, тело имеет скорость$v(t_0+\Delta t)=v_0 + \Delta v$.

Значение$v^2$вовремя$t=t_0$конечно$v^2(t_0)=v(t_0)^2=v_0{}^2$. Какова ценность$v^2$вовремя$t=t_0+\Delta t$?

$$v^2(t_0 + \Delta t)=v(t_0+\Delta t)^2 = (v_0+\Delta v)^2$$ С другой стороны, у нас также есть $$v^2(t_0 + \Delta t) = v^2(t_0) + \Delta(v^2) = v_0{}^2 + \Delta(v^2)$$ и поэтому $$\begin{align*} \Delta(v^2) &= (v_0 + \Delta v)^2 -v_0^2 \\ &= v_0^2 + 2v_0\Delta v + (\Delta v)^2 - v_0{}^2 \\ &= 2v_0\Delta v + (\Delta v)^2 \end{align*}$$ Нас интересуют мгновенные значения, т. е. изменение при достижении предела $\Delta t \rightarrow 0$. Это значит, что $\Delta v$также становится сколь угодно малым, и мы, в частности, можем игнорировать высшие силы, такие как $(\Delta v)^2$и получить $$\Delta(v^2)\approx 2v_0\Delta v$$ или $$\frac{\Delta(v^2)}{\Delta v}\approx 2v_0$$ Эта процедура настолько полезна, что получила собственный формализм и символическое обозначение. $$\frac{\mathrm{d}(v^2)}{\mathrm{d}v}=2v$$ после ограничения $\Delta v\rightarrow 0$.

Итак, вам нужен простой ответ... Рассмотрим тело массой$m$в состоянии покоя. Начальная скорость$u=0$. Теперь тело движется со скоростью$v$.

Сила, действующая на ускоряющееся тело,$F=ma$,

$$\implies F=m\frac{dv}{dt}$$

Малая работа, совершаемая при перемещении тела на небольшое расстояние$ds$является

$$dw=F.ds$$ $$dw=m\frac{ds}{dt}dv=mvdv$$ Следовательно, полная работа, совершенная телом при ускорении от $0$к $v$является $$W=\int_0^v dw=\int_0^v mvdv$$ $$\implies W={mv^2 \over 2}$$ Эта работа запасается в виде кинетической энергии движущегося тела... $K.E=\frac{1}{2}mv^2$

В этом методе Half приходит через интеграцию. Нет другого объяснения проще , чем это, я так думаю... Но фактический вывод предоставлен Википедией .

Вы заметите, когда будете больше изучать физику, что множитель, равный половине, часто сопровождает квадраты величин. Например:

$\frac{1}{2}mv^2$

$\frac{1}{2}CV^2$

$\frac{1}{2}LI^2$

Это кинетическая энергия, энергия конденсатора и энергия индуктора соответственно.

Если вы изучали физику, основанную на исчислении, вы знаете, что скорость изменения кинетической энергии во времени — это мощность, а эта мощность — произведение силы и скорости.

$\frac{d}{dt}KE = f \cdot v = ma \cdot v = m \frac{dv}{dt} \cdot v$

Интегрируя обе стороны относительно$t$дает:

$KE = \int mv\ \frac{dv}{dt}dt = \int mv\ dv = \frac{1}{2}mv^2$

Если вы еще не знакомы с исчислением, вышеизложенное не будет иметь особого смысла, но по мере того, как вы будете лучше знакомиться с ним, вы поймете, что половинный множитель часто возникает из-за интегрирования.

Вот небольшая линейка аргументов, которые не являются ВЫВОДОМ, но, надеюсь, они дадут вам интуитивное представление о соотношении множителя 2 и определения различных энергий в физике.

Как известно, энергия сохраняется, поэтому, если планета вращается вокруг Солнца, ее потенциальная энергия постоянно преобразуется в кинетическую и наоборот.

Наш вопрос заключается в том, как представить механическую Энергию через понятие скорости?

Возьмем следующий пример: Мы спускаем тестовое тело с высоты H и позволяем ему свободно падать на землю.

Вначале тело обладает потенциальной энергией$E=m g H$, мы знаем, что при ударе тела о землю его потенциальная энергия будет равна 0 (поскольку$H=0$), а это означает, что вся его начальная потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую энергию.

Итак, у нас есть$K= E=m g H$.

Теперь все, что нам нужно сделать, это представить эту энергию через скорость. Мы можем сделать это, заметив, что для свободно падающего тела$v=g t$затем$t=\sqrt{\frac{2 H}{g}}$поскольку$H=\frac{g t^2}{2}$и наконец$g H=\frac{v^2}{2}$.

Итак, для начальной энергии имеем$E=K= mgH= m \frac{v^2}{2}$

Здесь коэффициент 2 получен из определения расстояния, пройденного телом при постоянном ускорении g.

Надеюсь, это поможет вашей интуиции.

Хотя я согласен со многими ответами здесь относительно происхождения$\frac{1}{2}$Фактор, есть важный момент, который еще не сделан.

Дело в том, что коэффициент 1/2 существует только из-за системы единиц измерения массы. Мы могли бы легко изменить нашу систему единиц таким образом, чтобы кинетическая энергия была равна$mv^2$.

На самом деле уметь переключаться с одной системы единиц на другую — важный и полезный трюк. Например, это часто делается для того, чтобы иметь систему единиц, в которой скорость света определяется как равная 1, что хорошо, потому что это означает, что вам не нужно писать$c$повсюду.