Классический предел в доказательстве квантовой механики

Question

Классический предел в доказательстве квантовой механики

Эрик Ван

Несколько вопросов о лимите $\hbar\rightarrow 0$ , например

Я читаю $\hbar \rightarrow 0$ в квантовой механике . Ответы с большим количеством голосов говорят как о том, что этот предел является приемлемым способом восстановления законов движения Ньютона из уравнения Шредингера (SE) ( https://physics.stackexchange.com/a/108226/307786 ), так и о том, что это не так ( https ://физика.stackexchange.com/a/42007/307786 ). Может ли кто-нибудь предоставить доказательства вместо примеров?

Я не знаю точно, какое наблюдаемое высказывание я рассматриваю в пределе. Что-то легкое, надеюсь. Первая ссылка, которая у меня есть, гласит, что в пределе энергетический спектр квантового гармонического осциллятора становится непрерывным. Я приму доказательство того, что

все связанные состояния для любого $V$ становятся непрерывными ниже предела.
Или доказательство того, что волновая функция в пределе принимает другой классический смысл.
Или что SE становится уравнением Эйлера-Лагранжа (EL), или уравнением Гамильтона, или уравнением Ньютона ( $F=ma$ -like) без комплексных чисел.
Или что решения SE выглядят как дельта-функции в пространстве положений и пространстве импульсов одновременно (поскольку в центре масс (ЦМ) нет неопределенности положения или импульса).

Я почерпнул эти идеи из книги «Что делает теорию «квантовой»?» . Я полагаю, что доказательство одного из этих утверждений повлечет за собой большинство других. Я не могу определенно сказать, какой из них я хочу, потому что я не знаю, какие из них правильные и доказуемые. Но я приму доказательство любого такого аргумента.

Qмеханик

Рассмотрите возможность включения того, какие точные наблюдаемые/утверждения учитываются в пределе

ℏ \to 0

$\hbar\to 0$ . От этого зависит вывод.

Эрик Ван

@Qmechanic Я не могу ответить на этот вопрос, потому что не знаю, какая наблюдаемая доказуема (см. редактирование). Я привел несколько примеров наблюдаемых, ничего, если я получу ответ для любого из них? Спасибо.

Qмеханик

Связанное мета-обсуждение physics.meta.stackexchange.com/q/13713/2451 .

Себастьяно

Я проголосовал за ваш ответ за ваши усилия.

Халкстер

Наблюдаемое утверждение: в классическом пределе можно измерить положение, не нарушая импульса, и наоборот. Это позволяет находить классические точные значения как для позиционного, так и для импульсного распределения (но волновые функции остаются комплекснозначными).

Ответы (1)

Классический предел в доказательстве квантовой механики

Рассмотрите возможность включения того, какие точные наблюдаемые/утверждения учитываются в пределе $\hbar\to 0$ . От этого зависит вывод.
@Qmechanic Я не могу ответить на этот вопрос, потому что не знаю, какая наблюдаемая доказуема (см. редактирование). Я привел несколько примеров наблюдаемых, ничего, если я получу ответ для любого из них? Спасибо.
Связанное мета-обсуждение physics.meta.stackexchange.com/q/13713/2451 .
Я проголосовал за ваш ответ за ваши усилия.
Наблюдаемое утверждение: в классическом пределе можно измерить положение, не нарушая импульса, и наоборот. Это позволяет находить классические точные значения как для позиционного, так и для импульсного распределения (но волновые функции остаются комплекснозначными).

Кирпич · Answer 1

Отвечу на эту часть вопроса:

Или что SE становится уравнением EL, или уравнением Гамильтона, или уравнением Ньютона (F = ma-like) без комплексных чисел.

Позволять $\psi$ быть решением уравнения Шредингера

я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial т} "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \nabla^{2} ψ + В ψ

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V\psi$

Вы всегда можете записать комплексную функцию в полярной форме $\psi = R e^{ iS/\hbar}$ для реальных функций $R$ и $S$ . Если вы подставите это в уравнение Шрёдингера и разделите действительную и мнимую части, вы получите два связанных УЧП с действительными значениями.

\frac{\partial р}{\partial т} "=" - \frac{1}{2 м} [р \nabla^{2} С + 2 \nabla р \cdot \nabla С]

$\frac{\partial R}{\partial t} = -\frac{1}{2m} \left[ R \nabla^2S + 2 \nabla R \cdot \nabla S \right]$ и

\frac{\partial С}{\partial т} "=" - [\frac{| \nabla С |^{2}}{2 м} + В + Вопрос]

$\frac{\partial S}{\partial t} = - \left[ \frac{| \nabla S |^2}{2m} + V + Q \right]$ где

Вопрос "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\nabla^{2} р}{р}

$Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac {\nabla^2 R}{R}$ является «квантовым потенциалом».

Обратите внимание, что единственный член, который имеет множитель $\hbar$ в этом $Q$ . Первое из двух уравнений, если определить $\rho = R^2 = \| \psi \|^2$ , даст вам уравнение неразрывности из квантовой механики. Второе похоже на уравнение Гамильтона-Якоби для классической частицы с главной функцией Гамильтона $S$ за исключением дополнительного «квантового» термина $Q$ .

Если вы официально принимаете $\hbar \rightarrow 0$ , вы точно восстанавливаете уравнение HJ для классической частицы, что, я думаю, отвечает на часть вашего вопроса вплоть до известного факта, что вы можете переключаться между уравнениями EL и HJ, когда вы полностью находитесь в классической механике.

Есть еще уравнение непрерывности, которое, я думаю, становится частью оставшейся путаницы. Уравнение непрерывности остается в силе. В классическом контексте его чаще можно было бы назвать частным случаем уравнения Фоккера-Планка, в данном случае с нулевой диффузией. Если у вас есть некоторая неопределенность (в классическом смысле «я не знаю все точно», а не в квантовом смысле «я не могу знать все точно»), то это уравнение говорит вам, как распространить эту неопределенность вперед. Что принципиально отличается сейчас, так это то, что основная динамика не зависит от этой неопределенности, как только $Q$ термин игнорируется. Если у вас нет неопределенности, что допускается в классической теории, это уравнение все еще работает в некотором обобщенном смысле распределения, когда распределение достигает предела дельта-функции. $\rho \sim \delta$ .

В некоторых вопросах, ответах и документах, на которые вы ссылаетесь, эта точка зрения делается явно и отдельно от " $\hbar \rightarrow 0$ Это может быть, по крайней мере частично, различием в терминологии. Я готов называть уравнение Фоккера-Планка «классическим», тогда как другие хотят дать ему отличительный ярлык, например «стохастический классический» или «вероятностный классический». .Те, кто в последнем лагере (правильно) то указывают, что тоже нужно брать лимит $\rho \rightarrow \delta$ чтобы добраться до «детерминированного» классического случая.

Почему фаза $\psi$ решение уравнения HJ имеет смысл? Как вы относитесь к этапу $\psi$ с любой классической наблюдаемой? Если я правильно помню, $S$ в уравнении ГД есть классическое действие со свободным концом
Вопрос — по крайней мере та его часть, которую я определил, на которую я отвечал, — спрашивает, как распознать классический предел. Это оно. Уравнение Шрёдингера имеет реальную форму, как данная, и при упомянутых условиях реальная форма ясно показывает, что динамика частицы точно задается классическими уравнениями. Что вы еще хотите? @FrodCube Как отмечено в ответе, $S$ — главная функция Гамильтона, которая имеет известные связи с парой вариантов «действия» в классической физике.
Если вы уроните $Q$ член, то правая часть уравнения ГД представляет собой (классическую) полную энергию, которая, конечно же, является классической наблюдаемой. @ФродКуб. Как только вы станете классиком, вы также сможете вычислить импульс из этого (поскольку у нас также есть $V$ ), и с начальными условиями вы можете вычислить положение как функцию времени. На тот момент это была вся стандартная классическая физика, поэтому я не понимаю, что вы имели в виду, говоря «с любым классическим наблюдаемым» в контексте комментария.
может мой вопрос глупый. Я знаю ваш вывод, я видел его в нескольких книгах. У меня просто нет интуиции (может быть, я знал это в какой-то момент), почему фаза волновой функции связана с действием.
@FrodCube Думаю, я предпочитаю думать об этом с другой стороны. Действие является фундаментальным, и помещение его в экспоненту делает определение оператора $p \rightarrow \hat{p} = -i\hbar \partial_x$ тренировка. Сложная версия уравнения более популярна как по историческим, так и по практическим причинам, но (как мне кажется) реальная версия более тесно связана с интуитивными основами. Но в любом случае, мы, вероятно, в этот момент забредем на новый вопрос....
Если $\hbar$ стремится к нулю, что происходит с $R$ ? То есть тривиально ли исчезновение квантового потенциала?
@Hulkster, я не думаю, что понимаю твой вопрос. Уравнение для $R$ , как показано, не зависит напрямую от $\hbar$ . Дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в предпоследнем абзаце ответа.
Хорошо. Если $R$ не зависит от $\hbar$ , то классический предел очевиден.

Классический предел в доказательстве квантовой механики

Эрик Ван

Qмеханик

Эрик Ван

Qмеханик

Себастьяно

Халкстер

Ответы (1)

Кирпич

ФродКуб

Кирпич

Кирпич

ФродКуб

Кирпич

Себастьяно

Халкстер

Кирпич

Халкстер

Классический предел в квантовой механике

Классический предел интеграла Фейнмана по траекториям

Почему классический путь дает доминирующий вклад в интеграл по путям?

Когда использовать квантовую механику? [закрыто]

Классическая механика из квантовой механики

Переход от квантовой к классической механике

Генератор оператора импульса трансляционного классического предела

Пример квантово-механической теории с нетривиальным классическим пределом

Как я могу увидеть, что системы повседневной жизни ведут себя классически (из интегралов по траекториям КТП)?