Могу ли я поменять квантово-механическое основное состояние на какое-то классическое распределение траекторий и заставить его оставаться неподвижным после замены?

Если взять уравнение Лиувилля и установить$\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$, чтобы плотность вероятности не зависела от времени, получается (в одном измерении):

$$\frac{\partial \rho}{\partial r}\dot{r} +\frac{\partial \rho}{\partial p} \dot{p} = 0$$

Теперь, если вы используете уравнения Гамильтона, чтобы узнать$\dot{r}$а также$\dot{p}$через производные гамильтониана

$$\frac{\partial \rho}{\partial r}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial \rho}{\partial p}\frac{\partial H}{dr} = 0$$

Что представляет собой скобка Пуассона$\rho$а также$H$. Если плотность вероятности является функцией только гамильтониана, скобка Пуассона исчезает.

Теория волны-пилота Бома-де-Бройля предлагает конструкцию квантовой$\mathcal{O}(\hbar^2)$исправление исходного гамильтониана вместе с классическим ансамблем частиц, который делает почти то, что вы просите. Исправленный гамильтониан$H_B$читает

$$H_B = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + V(\mathbf{x}) - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}\,,$$ куда $\rho = \int f dp$. Распределение фазового пространства в $n$размеры затем строятся как $$f(\mathbf{x},\mathbf{p}) = |\psi|^2 \delta^{(n)}(\mathbf{p} - \hbar \Im(\frac{\nabla \psi}{\psi}))\,,$$ куда $\psi$— исходная волновая функция, которую мы хотим имитировать. Очевидно, что по крайней мере для начального условия будем иметь $\rho=|\psi|^2$а также $$\langle \mathbf{v} \rangle \equiv \int \frac{\mathbf{p}}{m} f dp = \frac{\hbar}{m} \Im(\frac{\nabla \psi}{\psi})\,.$$ Менее очевидно, что этот ансамбль с гамильтонианом $H_B$полностью эквивалентна эволюции $\psi$. Другими словами, формула для $f$Лиувилль, разработанный $H_B$будет эквивалентен приведенному выше с точки зрения $\psi$эволюционирует по уравнению Шрёдингера. Это относится не только к основным состояниям, но и к общим нестационарным состояниям .

Эквивалентность можно вывести, рассмотрев уравнение Шредингера, положив$\psi = \sqrt{\rho} \exp(iS/\hbar)$, и интерпретация$S$как классическое действие Гамильтона-Якоби. (Подробнее на вики-странице Бома-Де-Бройля .)

Кстати, похоже, что-то похожее на то, что вы пытаетесь сделать, было сделано в квантово-химических численных вычислениях, см. книгу Applied Bohmian Mechanics: From Nanoscale Systems to Cosmology .

Кажется, что искомая квазиклассическая реализация ОП возможна с помощью звездного произведения Грёневольда-Мойяля . $\star$, т.е. уравнение Лиувилля. становится

$$0~=~\frac{d\rho }{dt}~=~ \frac{1}{i\hbar} [\rho \stackrel{\star}{,}H]+\frac{\partial \rho }{\partial t} .\tag{1}$$

В частности, собственное состояние$|\psi\rangle$заданного квантового гамильтонова оператора$\hat{H}$(так что оператор плотности$\hat{\rho}= |\psi\rangle \langle \psi|$) будет стационарным состоянием уравнения Лиувилля (1) для соответствующей квазиклассической системы, т. е. вигнеровским квазивероятностным распределением $\rho$и функция Гамильтона$H$будет звездой коммутировать.

Мы использовали следующие обозначения. $\star$-коммутатор определяется как

$$[f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f.\tag{2}$$ Карта оператор-функция/символ $\hat{f}\mapsto f$задается преобразованием Вигнера . Обратная карта $f\mapsto \hat{f}$задается преобразованием Вейля , ср . например , этот пост Phys.SE. Обратите внимание, что оператор плотности $\hat{\rho}$и квазивероятностное распределение Вигнера $\rho$является примером пары оператор-символ/функция. Подчеркнем, что функция/символ $f$в общем случае будет зависеть от постоянной Планка $\hbar$. См. также, например, мои ответы Phys.SE здесь и здесь . Например , оператор Гейзенберга уравнение. движения

$$\frac{d\hat{f}}{dt}~=~ \frac{1}{i\hbar} [\hat{f},\hat{H}]+\frac{\partial \hat{f}}{\partial t} \tag{3}$$

соответствует

$$\frac{df}{dt}~=~ \frac{1}{i\hbar} [f\stackrel{\star}{,}H]+\frac{\partial f}{\partial t} \tag{4}$$

для функций/символов$f$. Уравнение Лиувилля. (1) является частным случаем уравнения. (4) с$f=\rho$.

Можно обобщить конструкцию на другие квазивероятностные распределения и порядки операторов с соответствующими ассоциативными звездчатыми произведениями. Мы считаем, что использование звездных продуктов необходимо в общей конструкции.

Я имею в виду, вот как бы я подошел к этому в одном измерении...

Рассмотрим когерентные состояния$\alpha~|\alpha\rangle = \hat a |\alpha\rangle$создано$\hat x = \lambda (\hat a^\dagger + \hat a)/2,$а также$\hat p = i~\mu(\hat a^\dagger - \hat a)/2.$Поэтому они имеют относительно четко определенные позиции$\langle x \rangle = \lambda \Re(\alpha),$и импульсы$\langle p \rangle = \mu \Im(\alpha);$на самом деле они я верю гауссовцам в$(x, p)$пространстве только с размером их нулевой флуктуации. Что еще более важно, они разрешают идентичность с некоторым ядром,$\hat 1 = \int_\mathbb C d^2\alpha~\kappa(\alpha)~ |\alpha\rangle\langle\alpha|.$Обратите внимание, что хотя они получены для гамильтониана гармонического осциллятора$\epsilon \hat a^\dagger \hat a,$что заставляет их описывать красивые круги в фазовом пространстве, как это делает настоящий гармонический осциллятор, нет необходимости использовать их только с этим гамильтонианом.

Таким образом, распределение-кандидат должно представлять$|\psi_0\rangle$как функция$\mathbb C \to \mathbb C$в качестве$\psi_0(\alpha) = \langle\alpha|\psi_0\rangle,$из которого мы могли бы восстановить некоторую плотность$\rho(\alpha) = \kappa(\alpha)~\psi_0^*(\alpha) ~ \psi_0(\alpha),$теряет квантовую фазу, но обязательно сохраняет$\int~d^2\alpha ~\rho(\alpha) = 1.$Тогда есть хорошая интерпретация$\rho(x, p) = \rho(x/\lambda + i p/\mu)/(\lambda \mu),$по сути, запускает вышеуказанные ожидаемые значения «в обратном порядке».

Интеграция$\int dp~\rho(x, p) = \iint dx' ~dp~ \delta(x-x')~\rho(x',p)$затем становится:

$$\int_{\mathbb C} d^2\alpha~\kappa(\alpha)\langle \psi_0|\delta(x - \Re\alpha)|\alpha\rangle\langle\alpha|\psi_0\rangle.$$ Мне нужно немного подумать о том, можем ли мы заменить это $\delta(x - \Re \alpha)$с наблюдаемым $|x\rangle\langle x|,$но если предположить, что это так, то разрешение тождества сделает всю остальную работу за нас, и мы просто получим $\langle\psi_0|x\rangle\langle x|\psi_0\rangle$в соответствии с запросом, и нет никакой очевидной причины для того, чтобы это было специфичным для какой-либо одной квадратуры, кроме как для всех квадратур. Так что это очень «очевидный» способ построить что-то «в основном» правильное.

Последнее, что нужно доказать, это то, что в результате$\rho(\alpha)$также является стационарным по уравнению Лиувилля, но учитывая, что оно происходит от$|\psi_0\rangle$который является стационарным относительно гамильтониана, кажется вероятным, как частный случай теоремы Эренфеста ... так что это простоватая конструкция, но я бы не стал ее исключать.

Я опоздал с дискуссией и упустил некоторые тонкости; но я мог бы подойти к проблеме с помощью простых парадигм: ну, осциллятор настолько же классичен, насколько и квантовые системы. При надлежащих нормировках траектория каждой системы для нее представляет собой жесткое вращение в фазовом пространстве как для любой функции Вигнера (Groenewold, 1946), так и для ее классической предельной плотности Лиувилля:$f(x,p;t)=f(x\cos t-p\sin t,p\cos t+x\sin t;0)$,

Стационарная квантовая система — это аксиально-симметричная функция Вигнера, и то же самое для ее классической плотности Лиувилля: происходит то, что стационарная конфигурация — это не что иное, как интеграл по всем фазам (назовем их начальными моментами!) любой конфигурации. Поскольку все вращается синхронно, конфигурация кажется (является) стационарной как в квантовой, так и в классической механике.

Например, это 2-е возбужденное состояние осциллятора на масштабах$O(\hbar)$,

но нет ничего плохого в том, чтобы созерцать огромную (макроскопическую) коллективную систему в фазовом пространстве... размером с лабораторию первокурсника, осесимметричную, густой рой невзаимодействующих заряженных частиц, колеблющихся в поле синхронно, начавших свои колебания вообще равномерно. моменты цикла колебаний. (Теперь ты не сказал "реалистичный"...)

Начальное распределение может быть выбрано положительно полуопределенным и осесимметричным: оно не обязательно должно быть чистым звездным собственным состоянием: тем не менее оно будет жестко вращаться и моделировать плотность Лиувилля.

Но, в любом случае, это самый простой способ проиллюстрировать концепцию: стационарность, по крайней мере, для периодического движения, вполне может означать ансамбль с идеальным фазовым размытием.

Осциллятор, однако, на самом деле особенный, поскольку эволюта вигнеровской плотности является той же самой функцией эволюционных x и p , а аксиально-симметричная конфигурация является стационарной. Практически уникален, за исключением систем, отображаемых на него. Это всего лишь концептуальная демонстрация существования, а не метод. Я не уверен, что G Braunss 2009 полезен, но вот...