Пример квантово-механической теории с нетривиальным классическим пределом

При квантовании симплектического многообразия (фазового пространства)$M$, имеются классические предельные теоремы сходимости операторной алгебры квантовой системы к пуассоновской алгебре функций на симплектическом многообразии, с которых мы исходили, в пределе$\hbar \rightarrow 0$:

$$\lim_{\hbar \rightarrow 0}||T_f^{\frac{1}{\hbar}}|| = |f|_{\infty}$$ $$\lim_{\hbar \rightarrow 0}||[T_f^{ \frac{1}{\hbar}}, T_g^{ \frac{1}{\hbar}}]- i T_{\left \{f, g \right\}}^{ \frac{1}{\hbar}} ||= 0$$

Где$T_f^{\frac{1}{\hbar}}$оператор Теплица, представляющий наблюдаемую$\hat{f}_{\frac{1}{\hbar} }$в квантовом гильбертовом пространстве (действующем как ядро ​​свертки волновых функций):

$$(\hat{f}_{\frac{1}{\hbar} }\circ \psi)(x) = \int_M d\mu_{L}(M) h^{\frac{1}{\hbar}} (x,y) T_f^{\frac{1}{\hbar}}(x,y) \psi(y)$$ Где: $d\mu_{L}$является мерой Лиувилля на $M$и $h$является метрикой на слоях расслоения линий квантования.

Теплицевые операторы могут быть выражены, учитывая когерентный базис состояния, как:$|x\rangle_{\frac{1}{\hbar}}$,

$$T_f^{\frac{1}{\hbar}}(x,y) = _{\frac{1}{\hbar}}\langle y| \hat{f}_{\frac{1}{\hbar} } | |x\rangle_{\frac{1}{\hbar}}$$ Значение $\hbar$управляется посредством выбора метрики на волокнах или, что то же самое, базисом когерентного состояния.

Бордеманн, Майнренкен и Шлихенмайер доказали приведенную выше теорему в случае компактных келеровых многообразий. Их доказательство справедливо как для квантования Березина-Теплица, так и для геометрического квантования, у которых тёплицевые операторы связаны с тёплицевыми операторами Березина формулой Тюнмана:

$$Q_f ^{\frac{1}{\hbar}} = T_{f-\frac{\hbar}{2}\Delta}^{\frac{1}{\hbar}}$$

Эта теорема была обобщена Ма и Маринеску для квантования Березина-Теплица некомпактных келеровых многообразий и орбифолдов и общих симплектических многообразий.

Чарльз и Полтерович получили более точные оценки квазиклассических пределов в случае компактных многообразий.

Вышеупомянутая история верна, когда мы квантуем заданное многообразие в начале. Но иногда мы знаем только операторную алгебру и гамильтониан, например, в случае спиновых моделей. В этом случае (см. Gnutzmann, Haake and Kuś ) существуют некоторые особые случаи, когда операторная алгебра может быть представлена ​​изоморфно с помощью операторов Теплица на двух (или более) различных фазовых пространствах, которые возникают как классические пределы. В этом случае классические теории совершенно другие, когда пуассоновская структура невырождена, классический предел интегрируем, когда она вырождена, классический предел хаотичен.