Когда использовать какое представление для электрического поля

На занятии мы рассмотрели три типа возможностей оценки электрического поля для статических задач. К сожалению, большинство учебников по физике освещают эти способы, не затрагивая вопрос применимости, когда они вводят эти уравнения из-за исторической мотивации.

Одним из возможных вариантов является закон Гаусса:

∫ ∂ В ⟨ Е , н ⟩ г С "=" ∫ В р ε 0 г Икс
Это можно использовать только тогда, когда Е не зависит с геометрической точки зрения от переменных, от которых зависит поверхностный интеграл (как в сферической симметрии, когда он является функцией не углов, а только радиуса), то его можно использовать для определения электрического поля по заряженная сфера. Тогда мы можем получить электрическое поле на поверхности некоторого объема, содержащего определенный заряд.

Тогда у нас есть:

Е ( Икс ) "=" 1 4 π ε 0 ∫ р 3 р ( Икс ′ ) ( Икс − Икс ′ ) | | Икс − Икс ′ | | 3 г Икс ′ .

Это более общее в том смысле, что оно не требует какой-либо симметрии или редукции к зарядам внутри некоторого объема.

И, наконец, у нас есть

Δ ф ( Икс ) "=" − р ( Икс ) ε 0 ,

который является наиболее общим способом думать об электростатических задачах и содержит (при условии, что решение удовлетворяет всем граничным условиям) всю информацию.

Я надеюсь, что мое понимание было правильным до сих пор. В таком случае у меня возникает вопрос: как отличить краевые задачи от задач, где применяются первые два уравнения?

Многие задачи похожи на: Дана сфера с определенным распределением заряда, вычислить поле повсюду вокруг! Что это значит, означает ли это, что я должен думать об этом как о шаре зарядов, собирающемся в вакууме, и материал вокруг тоже вакуум? Потому что, если я предположу, что это металлическая сфера или сфера, сделанная из какого-то материала, отличного от окружающего материала (возможно, из варкуума), то это даст мне интерфейс, который означает, что мои первые два уравнения больше не применимы, как я получил бы граничные условия. (Я говорю сейчас об этом в строгом теоретическом смысле, может быть, они дали бы мне правильный результат, но по неправильным причинам). Или эти два уравнения также применимы, если шар является изолятором?

@ Мостафа, наверное, ты мог бы мне помочь. поскольку вы хорошо знакомы с такими вещами. Мой вопрос таков: каким приложениям в реальном мире соответствуют эти уравнения, когда вы хотите определить электрическое поле.
Выражение в правой части второй формулы относится к потенциалу ф , а не для электрического поля. В третьей формуле должен быть минус с одной стороны уравнения.
Дифференциал в правой части первого и второго уравнений равен г 3 Икс .
Первой и третьей формул просто недостаточно, чтобы найти поле. Первое необходимо дополнить уравнением ∇ × Е "=" 0 а третий по Е "=" − ∇ ф . После этого они эквивалентны и еще нуждаются в дополнении граничными условиями.
@JánLalinský Как они могут быть эквивалентны? Как указал auxsvr, нам нужно, например, для второго, чтобы поле быстро спадало.
@JánLalinský JánLalinský чего я также не вижу, так это того, что это за упражнение: учитывая распределение заряда, рассчитайте поле! Требует ли это, чтобы распределение заряда происходило в той же среде, что и окружающая среда?
Поле должно быстро спадать, если уравнения ∇ ⋅ Е "=" р / ϵ 0 , ∇ × Е "=" 0 должны иметь единственное решение. Но это не обязательно для применения второй формулы.

Ответы (2)

Наиболее общеприменимым уравнением электростатики является кулоновское поле точечного заряда. д на позиции Икс → ′ в вакууме,

Е → ( Икс → ) "=" 1 4 π ϵ 0 д ( Икс → − Икс → ′ ) | Икс → − Икс → ′ | 3 .
Это экспериментально выведенное уравнение, если рассматривать малые заряды как точечные заряды. Ваше второе уравнение может быть получено из него, используя принцип суперпозиции, поэтому мы имеем
Е → ( Икс → ) "=" 1 4 π ϵ 0 ∫ Д р ( Икс → ′ ) ( Икс → − Икс → ′ ) | Икс → − Икс → ′ | 3 г 3 Икс ′ ,
с Д область, включающая рассматриваемое распределение заряда. Интеграл сходится, если Д конечно, р ограничено, и подынтегральная функция становится бесконечной не более одного раза, согласно Келлогу, Основы теории потенциала . В случае бесконечности Д в общем случае интеграл не сходится. Есть некоторые распределения, которые позволяют ему сходиться, например, однородно заряженная, бесконечная плоскость или провод; они очень симметричны.

Из интеграла Кулона, если он сходится, интегральный закон Гаусса и ∇ → ⋅ Икс → − Икс → ′ | Икс → − Икс → ′ | 3 "=" 4 π дельта ( Икс → − Икс → ′ ) , получаем дифференциальное уравнение Гаусса, одно из уравнений Максвелла,

∇ → ⋅ Е → "=" р ϵ 0 .
Это также общее уравнение в некотором смысле, но теорема Гельмгольца утверждает, что должны быть выполнены определенные условия (локализованные источники), чтобы Е → существовать и однозначно определяться этим уравнением (здесь мы предполагаем ∇ → × Е → "=" 0 , занимаемся электростатикой). Те же условия предполагают наличие потенциала распределения, но ∇ → × Е → "=" 0 достаточно, чтобы сделать вывод Е → "=" − ∇ → В без них (заметим, что для однородно заряженной бесконечной плоскости В расходится, но предыдущее уравнение все равно дает правильное поле!).

Другой способ получить потенциал распределения - решить уравнение Пуассона ∇ 2 В "=" − р / ϵ 0 с соответствующими граничными условиями. Это кажется эквивалентным предыдущему выводу из теоремы Гельмгольца (условие теоремы Гемгольца лим | Икс → | → ∞ В ( Икс → ) "=" 0 есть Дирихле BC для уравнения Пуассона.).

Другой способ вывести закон Кулона — начать с уравнений Максвелла и применить теорему Гельмгольца для локализованных источников, т. е. таких, для которых поле исчезает быстрее, чем 1 / р как р идет к ∞ . Преимущество этого вывода состоит в том, что оба интеграла всегда сходятся, а недостаток в том, что он исключает распределения зарядов, простирающиеся до ∞ , которые не являются физическими, но используются для извлечения существенных свойств более сложных геометрий. Обходной путь для этого ограничения состоит в том, чтобы рассмотреть последовательность локализованных распределений, стремящихся к бесконечности.

Наконец, эти уравнения по-прежнему применимы в присутствии диэлектрика, отличного от вакуума, но заранее необходимо сделать соответствующие предположения. Например, если диэлектрик линейный, изотропный и однородный, то Д → "=" ϵ Е → и закон Кулона становится

Е → ( Икс → ) "=" 1 4 π ϵ д ф ( Икс → − Икс → ′ ) | Икс → − Икс → ′ | 3 ,
Уравнение Пуассона становится ∇ 2 В "=" − р ф / ϵ и т. д. Однако если ∇ → × п → ≠ 0 → , что имеет место на границе между разными диэлектриками (разрывные ϵ ), то должны решаться уравнения Максвелла в диэлектрике и нет закона Кулона для Д → которое покрывает все пространство, что является еще одной причиной того, что уравнения Максвелла вместо этого считаются фундаментальными. Другой способ увидеть это состоит в том, что заряд внутри диэлектрика индуцирует поляризационный заряд, что делает процесс нелинейным, зависящим от границы между диэлектриками, поэтому принцип суперпозиции не может быть использован для нахождения Д → во всем пространстве. Таким образом, наиболее общими уравнениями при наличии диэлектрика являются закон Гаусса и уравнение Пуассона.

Общие ссылки: Гриффитс, Электродинамика , Зангвилл, Современная электродинамика , Джексон, Классическая электродинамика .

это хороший момент (условие Гельмгольца), хотя я не понимаю, почему распределение должно быть ограничено. Например, распределение заряда, которое будет выглядеть как р "=" А е − λ р со вторым должно быть все в порядке. Но мой вопрос был скорее таким: если у вас есть распределение заряда внутри некоторого материала, и вы хотите описать распределение заряда снаружи (в вакууме), всегда ли вы получаете правильный ответ?
Если он не локализован, интеграл расходится. Экспонента падает быстрее любой степени, следовательно, удовлетворяет условию. Поведение вашего дистрибутива как р → ∞ можно рассматривать как граничное условие для уравнения Лапласа. Насколько мне известно, закон Гаусса и уравнение Лапласа справедливы несмотря ни на что. Могут быть некоторые сложности при применении внутрь вещества и в малых масштабах (см. Микроскопическое уравнение Максвелла). Также поле внутри материи становится Д → "=" ϵ 0 Е → + п → , следовательно ∇ → ⋅ Д → "=" р для изотропной, линейной материи.
да и эти тонкости именно то, что я ищу. Я имею в виду то, что вы можете определенно вычислить из 2, это поле в упражнениях, которые просят вас рассчитать электрическое поле из распределения заряда (при условии, что это поле падает достаточно быстро). Мой вопрос: к какому реальному приложению это относится? Потому что, насколько я понимаю, означает ли это, что мы хотим, чтобы заряды и их окружение находились в одной и той же среде, или это также применимо, если заряды находятся в металле или дереве, а среда - вакуум?
Правильный закон Гаусса в приведенном выше вопросе: ∇ → ⋅ Д → "=" р ф . При интегрировании по теореме Гельмгольца предполагается, что ϵ везде постоянна, поэтому мы можем вынести ее за пределы интеграла, поэтому второе уравнение применимо только в этом случае. В общем, ϵ является тензором.
«Второе уравнение является результатом теоремы Гельмгольца для локализованных источников, т. е. таких, для которых поле стремится к 0 быстрее, чем 1/r» (я заменил ∞ на 0). Не обязательно. Второе уравнение представляет собой переписанный экспериментально найденный закон Кулона. Математически это справедливо даже для полей, которые вообще не убывают с расстоянием, например поле бесконечной равномерно заряженной плоскости (постоянное) или поле бесконечной проволоки (убывающее как 1/r).
@JánLalinský Спасибо за исправление асимптотического выражения. Второй интеграл сходится, когда р ограничен, становится бесконечным в одной точке максимума, а область интегрирования конечна (см. Келлог, Основы теории потенциала ). То, что она сходится для случая бесконечной плоскости с однородной плотностью заряда, является результатом симметрии задачи, поскольку произвольное о ( Икс ′ , у ′ ) дельта ( г ′ ) вообще не будет сходиться, когда область бесконечна. Легко видеть, что такие распределения приводят к нерегулярным результатам, поскольку их потенциал расходится.

Я надеюсь, что мое понимание было правильным до сих пор. В таком случае у меня возникает вопрос: как отличить краевые задачи от задач, где применяются первые два уравнения?

В статическом случае все эти формулы действительны одновременно. Вы можете использовать все, что захотите. Основываясь на постановке задачи, я бы выбрал то, что лучше всего подходит для ее решения.

Вы узнаете, какой метод для чего лучше всего подходит постепенно, выполняя упражнения и более сложные задачи по электростатике.

нет, это не может быть правдой. для многих краевых задач будет невозможно использовать первые две для определения электрического поля.
Невозможно - это сильно сказано. Многие вещи назывались невозможными, но в конце концов они были достигнуты. А пока лучше сказать, что некоторые формулировки лучше подходят для решения некоторых задач. Если вам интересно, можно ли решить конкретную задачу, используя данную формулировку, вы можете задать это как вопрос.
да, но я хочу понять, когда можно, а когда нельзя. Если вы все еще верите, что можете решить любую задачу, касающуюся электрического поля в электростатике, с помощью всех приведенных выше уравнений, вы можете объяснить, почему. до сих пор я не вижу, как можно убрать проблему граничных условий в первых двух уравнениях, и на самом деле вы не особо говорили об этом. Если вы передумали и считаете, что это вообще невозможно, вам, вероятно, следует удалить свой ответ.
Когда использовать какое представление для электрического поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v