Справедлив ли закон Гаусса для электрических полей, зависящих от времени?

Вам нужно следить за тем, что вы подразумеваете под двусмысленным термином «вывести», который может означать либо «был получен исторически» (т.е. был мотивирован или является производным в нематематическом смысле), либо «выведен логически/математически» .

Исторически , я думаю, вы правы, что$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$был «выведен» Максвеллом из электростатической версии$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\rho(\textbf{r})}{\epsilon_0}$, который, в свою очередь, был «выведен» из закона Кулона.

Логично , что все наоборот.$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$является фундаментальным законом Вселенной (по крайней мере, в классическом электромагнетизме; на самом деле он «выведен» из квантовой электродинамики). Его электростатическую версию можно математически «вывести» из этого закона как частного случая. То же самое относится и к закону Кулона.

Нет, мы не можем этого доказать; Максвелл постулировал, что он будет сохраняться динамически, потому что это имело для него наибольший смысл, когда он размышлял о проблеме тока смещения. Как вы, вероятно, знаете, Максвелл размышлял о несоответствии между законом Ампера для магнитостатики и уравнением непрерывности заряда. Закон Ампера для магнитостатики гласит:$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}$; когда мы берем расхождение обеих частей этого уравнения, мы получаем$0=\nabla\cdot\vec{J}$для любого магнитного поля с непрерывными вторыми производными. Это нарушает уравнение непрерывности заряда; нам нужно$0=\nabla\cdot\vec{J} + \partial_t\,\rho$. Поэтому нам нужно добавить член справа от закона Ампера в динамическом случае, дивергенция которого есть плотность заряда$\rho$. Самое простое решение состоит в том, чтобы предположить, что закон электростатики Гаусса выполняется в динамическом случае: тогда мы добавляем электрическое смещение к правой стороне Ампера, и у него есть правильное расхождение, чтобы сделать все правильно в соответствии с уравнением неразрывности. Обратите внимание, что мы также можем добавить произвольный вектор формы$\nabla\times \vec{N}$к электрическому смещению, чтобы это работало, но эта степень свободы не влияет на закон Гаусса.

Максвелл вывел свои уравнения из 1) закона сохранения заряда; 2) закон Кулона; 3) закон Био-Савара-Лапласа; 4) Закон индукции Фарадея. Уравнение$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\rho(\textbf{r})}{\epsilon_0}$действительно выводится из закона Кулона и в своей дифференциальной форме записывается с помощью теоремы Гаусса--Остроградского. Максвелл сделал еще один шаг и предположил (постулировал), что тот же закон верен, когда$\mathbf{E}$и$\mathbf{\rho}$являются функциями пространства И времени. Это оказалось правильным предположением, и оно не противоречит другим уравнениям. Действительно, из закона Био-Савара-Лапласа Максвелл вывел$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}$. Если взять расходимость обеих частей этого уравнения, то оно противоречит закону сохранения заряда, поэтому в это уравнение необходимо добавить дополнительный член (так называемый ток смещения). И тогда полученное уравнение не будет противоречить уравнению, которое мы получим после дифференцирования$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$по времени и, собственно, сравнение этих двух уравнений позволяет найти ток смещения.

Ну, я не знаю, сможем ли мы это доказать, но есть гораздо более элегантный способ сформулировать ЭМ, который может быть здесь полезен. Как вы знаете, на ЭМ есть два потенциала: скалярный потенциал$\phi$и векторный потенциал$\vec{A}$, из которого$\vec{E}(t,x)$и$\vec{B}(t,x)$получены. Из этих двух объектов и следующих соображений симметрии вы можете построить тензор$F$называется тензором напряженности поля (в основном это антисимметричный тензор 4x4, элементы которого являются компонентами$\vec{E}$и$\vec{B}$. Интересно, что этот тензор удовлетворяет математическому тождеству ($dF=0$), из которого получены все четыре уравнения Максвелла, и, поскольку мы рассматриваем поля, зависящие от времени, это может быть своего рода «доказательством» вашего вопроса.

Дивергенция компоненты электрического поля ТЕМ-волны равна нулю (это поле является только вращательным и бездивергентным).

Должен выполняться закон Максвелла-Гаусса для динамических полей. Это можно проверить, вычислив электрическое поле Ефименко, см. уравнение (10) , а затем вычислив дивергенцию электрического поля Ефименко, которая должна дать$\frac{\rho(\vec r,t)}{\epsilon_0}$. Это всего лишь проверка непротиворечивости теории; экспериментальное доказательство закона Гаусса для динамических полей более важно.