Константы интегрирования в уравнениях Максвелла (неоднозначность?)

Question

Константы интегрирования в уравнениях Максвелла (неоднозначность?)

Физика
интеграция
электромагнетизм
уравнения Максвелла
классическая электродинамика

Сокоб

В классической электродинамике, если электрическое поле (или магнитное поле, любое из двух) полностью известно (для простоты: в вакууме с $\rho = 0, \vec{j} = 0$ ), можно ли однозначно вычислить другое поле из уравнений Максвелла?

Например, предположим, что $\vec{E}(\vec{r}, t)$ известен с $\vec{E} = 0$ . Из уравнений Максвелла мы знаем, что

\nabla \times \vec{Е} "=" - \frac{\partial \vec{Б}}{\partial т} \Leftrightarrow \vec{Б} "=" - \int \nabla \times \vec{Е} г т

$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{B} = - \int \nabla \times \vec{E} \; \mathrm{d}t$ Однако это (насколько я могу судить) приводит к

\vec{B} (\vec{r}, t) = (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix})

$\vec{B}(\vec{r}, t) = \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right)$ с неизвестными константами

C_{i}

$C_i$ . Этот результат удовлетворяет уравнениям Максвелла, поскольку

\nabla \cdot (\begin{matrix} С_{1} \\ С_{2} \\ С_{3} \end{matrix}) "=" 0 и \nabla \times (\begin{matrix} С_{1} \\ С_{2} \\ С_{3} \end{matrix}) "=" ε_{0} {мю}_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} "=" 0

$\nabla \cdot \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right) = 0 \quad\text{ and }\quad \nabla \times \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right) = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$

Означает ли это, что если нам дано $\vec{E}$ и уравнения Максвелла без источника, что мы не можем определить, существует ли вообще магнитное поле или существует постоянное магнитное поле, заполняющее все пространство, используя теорию?

Примечание: я задаю этот вопрос, потому что в моем классе физики при рассмотрении плоских электромагнитных волн формы $\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ , нас часто просили вычислить $\vec{B}$ учитывая электрическое поле волны с помощью уравнений Максвелла. Нас интересовали константы интегрирования, но поскольку всегда предполагалось, что поля имеют вид

\vec{Е} (\vec{р}, т) "=" {\vec{Е}}_{0} е^{я (\vec{к} \cdot \vec{р} - ю т)}

$\vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$

\vec{Б} (\vec{р}, т) "=" {\vec{Б}}_{0} е^{я (\vec{к} \cdot \vec{р} - ю т)}

$\vec{B}(\vec{r}, t) = \vec{B}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ константы, естественно, были установлены равными нулю. Однако мне интересно, безопасно ли это предположение и каковы его причины.

Ответы (3)

Константы интегрирования в уравнениях Максвелла (неоднозначность?)

Тобиас · Answer 1

Самое важное утверждение в этом ответе на ваш вопрос: да, вы можете наложить постоянное магнитное поле. Комбинированное поле остается решением уравнений Максвелла. $\def\vB{{\vec{B}}}$ $\def\vBp{{\vec{B}}_{\rm p}}$ $\def\vBq{{\vec{B}}_{\rm h}}$ $\def\vE{{\vec{E}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$ $\def\vk{{\vec{k}}}$ $\def\om{\omega}$ $\def\rot{\operatorname{rot}}$ $\def\grad{\operatorname{grad}}$ $\def\div{\operatorname{div}}$ $\def\l{\left}\def\r{\right}$ $\def\pd{\partial}$ $\def\eps{\varepsilon}$ $\def\ph{\varphi}$

Поскольку вы используете плоские волны, вы даже не можете заставить поля достаточно быстро затухать с увеличением расстояния до источника. Это сделало бы решение уравнений Максвелла уникальным для заданных свойств пространства (например, $\mu,\varepsilon,\kappa$ , а может и пространственный заряд $\rho$ и отпечатанная плотность тока $\vec{J}$ ). Но в вашем случае у вас не было бы генератора поля. Ваша установка - это просто пустое место. Если вы заставите поле затухать достаточно быстро с увеличением расстояния, вы просто получите нулевые амплитуды. $\vec{E}_0=\vec{0}$ , $\vec{B}_0=\vec{0}$ для ваших волн. Что, безусловно, является решением уравнений Максвелла, но также определенно не тем, что вы хотите иметь.

С моей точки зрения, вы слишком быстро работаете с константами интегрирования. Вы теряете некоторую общность, пренебрегая тем, что эти константы действительно могут зависеть от пространственных координат.

Давайте посмотрим, что действительно можно вывести для $\vB(\vr,t)$ из уравнений Максвелла для данного $\vE(\vr,t)=\vE_0 \cos(\vk\vr-\om t)$ в свободном пространстве.

Сначала немного подытожу: мы вычисляем конкретное B-поле $\vBp$ который удовлетворяет уравнениям Максвелла:

\begin{aligned} \nabla \times ({\vec{Е}}_{0} потому что (\vec{к} \vec{р} - ю т)) & "=" - \partial_{т} {\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) \\ (\nabla потому что (\vec{к} \vec{р} - ю т)) \times {\vec{Е}}_{0} & "=" - \partial_{т} {\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) \\ - \vec{к} \times {\vec{Е}}_{0} грех (\vec{к} \vec{р} - ю т) "=" - \partial_{т} {\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times\l(\vE_0\cos(\vk\vr-\om t)\r)&=-\pd_t \vBp(\vr,t)\\ \l(\nabla\cos(\vk\vr-\om t)\r)\times\vE_0&=-\pd_t\vBp(\vr,t)\\ -\vk\times\vE_0\sin(\vk\vr-\om t) = -\pd_t \vBp(\vr,t) \end{array}$ Это приводит нас к

\partial_{t} \cos (\vec{k} \vec{r} - ω t) = ω \sin (\vec{k} \vec{r} - ω t)

$\pd_t \cos(\vk\vr-\om t) = \om \sin(\vk\vr-\om t)$ к анзацу

{\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) "=" - \vec{к} \times {\vec{Е}}_{0} потому что (\vec{к} \vec{р} - ю т) / ю .

$\vBp(\vr,t) = -\vk\times\vE_0 \cos(\vk\vr-\om t)/\om.$ Уравнение дивергенции

div {\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t) = - \vec{k} \cdot (\vec{k} \times {\vec{E}}_{0}) \cos (\vec{k} \vec{r} - ω t) / ω = 0

$\div\vBp(\vr,t)=-\vk\cdot(\vk\times\vE_0)\cos(\vk\vr-\om t)/\om=0$ удовлетворяется и свобода от пространственного заряда

0 = div \vec{E} (\vec{r}, t) = \vec{k} \cdot {\vec{E}}_{0} \sin (\vec{k} \vec{r} - ω t)

$0=\div\vE(\vr,t) = \vk\cdot\vE_0\sin(\vk\vr-\om t)$ доставляет это

\vec{k}

$\vk$ и

{\vec{E}}_{0}

$\vE_0$ являются ортогональными. Последнее, что нужно проверить, это закон Ампера.

\begin{aligned} гниль {\vec{Б}}_{п} & "=" {мю}_{0} ε_{0} \partial_{т} \vec{Е} \\ \vec{к} \times (\vec{к} \times {\vec{Е}}_{0}) грех (\vec{к} \vec{р} - ю т) / ю & "=" - {мю}_{0} ε_{0} {\vec{Е}}_{0} грех (\vec{к} \vec{р} - ю т) ю \\ (\vec{к} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{к} \cdot {\vec{Е}}_{0})}} - {\vec{Е}}_{0} {\vec{к}}^{2}) грех (\vec{к} \vec{р} - ю т) / ю & "=" - {мю}_{0} ε_{0} {\vec{Е}}_{0} грех (\vec{к} \vec{р} - ю т) ю \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \rot\vBp&=\mu_0 \eps_0 \pd_t\vE\\ \vk\times(\vk\times\vE_0)\sin(\vk\vr-\om t)/\om &= -\mu_0\eps_0 \vE_0 \sin(\vk\vr-\om t) \om\\ \biggl(\vk \underbrace{(\vk\cdot\vE_0)}_0-\vE_0\vk^2\biggr)\sin(\vk\vr-\om t)/\om&= -\mu_0\eps_0 \vE_0 \sin(\vk\vr-\om t) \om \end{array}$ который удовлетворяется за

\frac{ω}{| \vec{k} |} = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} = c_{0}

$\frac{\omega}{|\vk|} = \frac1{\sqrt{\mu_0\eps_0}}=c_0$ (скорость света).

Теперь смотрим какие модификации $\vB(\vr,t)=\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr,t)$ удовлетворяют законам Максвелла.

\begin{aligned} \nabla \times \vec{Е} (\vec{р}, т) & "=" - \partial_{т} ({\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) + {\vec{Б}}_{час} (\vec{р}, т)) \\ \nabla \times \vec{Е} (\vec{р}, т) & "=" - \partial_{т} {\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) - \partial_{т} {\vec{Б}}_{час} (\vec{р}, т) \\ 0 & "=" - \partial_{т} {\vec{Б}}_{час} (\vec{р}, т) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times\vE(\vr,t) &= -\pd_t\l(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr,t)\r)\\ \nabla\times\vE(\vr,t) &= -\pd_t\vBp(\vr,t)-\pd_t\vBq(\vr,t)\\ 0 &= -\pd_t\vBq(\vr,t) \end{array}$ Это означает, что модификация

{\vec{B}}_{h}

$\vBq$ не зависит от времени. мы просто пишем

{\vec{B}}_{h} (\vec{r})

$\vBq(\vr)$ вместо

{\vec{B}}_{h} (\vec{r}, t)

$\vBq(\vr,t)$ . Уравнение дивергенции для модифицированного B-поля имеет вид

0 = div ({\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t) + {\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{div ({\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t))}} + div ({\vec{B}}_{h} (\vec{r}))

$0=\div\l(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr)\r)=\underbrace{\div\l(\vBp(\vr,t)\r)}_{=0} + \div\l(\vBq(\vr)\r)$ сообщает нам, что модификация

{\vec{B}}_{h} (\vec{r})

$\vBq(\vr)$ также должен быть свободным от исходного кода:

див {\vec{Б}}_{час} (\vec{р}) "=" 0

$\div\vBq(\vr) = 0$ Закон Ампера

\begin{aligned} \nabla \times ({\vec{Б}}_{п} (\vec{р}, т) + {\vec{Б}}_{час} (\vec{р})) & "=" {мю}_{0} ε_{0} \partial_{т} \vec{Е}, \\ гниль ({\vec{Б}}_{час} (\vec{р})) & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr)) &= \mu_0\eps_0\pd_t \vE,\\ \rot(\vBq(\vr))&=0. \end{array}$ Свободное пространство просто соединено путем. Таким образом,

rot ({\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = 0

$\rot(\vBq(\vr))=0$ следует, что каждый допустимый

{\vec{B}}_{h}

$\vBq$ можно представить как градиент скалярного потенциала

{\vec{B}}_{h} (\vec{r}) = - grad φ (\vec{r})

$\vBq(\vr)=-\grad\ph(\vr)$ .

От $\div\vBq(\vr) = 0$ отсюда следует, что этот потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа

0 "=" - див ({\vec{Б}}_{час} (\vec{р})) "=" див выпускник ф "=" Δ ф

$0=-\div(\vBq(\vr)) = \div\grad\ph = \Delta\ph$

Вот и все, что говорят нам уравнения Максвелла для свободного пространства с предопределенным E-полем и без граничных условий:

B-поле может быть модифицировано градиентом любого гармонического потенциала .

Дело в том, что с задачами в бесконечном пространстве часто аппроксимируют некоторую конфигурацию с конечной протяженностью, которая достаточно далека от вещей, которые могут существенно повлиять на измерение.

Как возникают плоские электромагнитные волны?

Одним из относительно простых генераторов электромагнитных волн является дипольная антенна. Они генерируют не плоские волны, а сферические изогнутые волны, как показано на следующей красивой картинке со страницы Википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_%28radio%29 .

Электромагнитные волны диполя

Тем не менее, если вы находитесь далеко от диполя отправителя и вокруг вас нет отражающих поверхностей, то в непосредственной близости от вас электромагнитная волна будет выглядеть как плоская волна, и вы можете трактовать ее как таковую с достаточно точными результатами для ваших практических целей.

В этом важном приложении плоская волна является приближением, в котором суперпозиция с некоторым постоянным электромагнитным полем не совсем уместна.

Мы просто помним, что если в каком-то специальном приложении нам нужно наложить постоянное поле, нам это разрешено.

Я не совсем уверен, что понимаю, к чему ты клонишь. Допустим, мы включаем генератор, например дипольную антенну, в установку. Теперь единственное, что нам дано, это электрическое поле, создаваемое антенной. Учитывая это, можно ли определить, что представляет собой генерируемое магнитное поле, или все же будет неясность в том, что можно добавлять произвольные константы, и это останется решением? Я имею в виду, конечно, кто-то может возразить, что нет причин для появления дополнительного постоянного поля «из ниоткуда», но можете ли вы определить это только из уравнений?
Да, вы можете наложить постоянное магнитное поле на $\operatorname{rot}\vec H=\vec0$ и $\operatorname{div}\vec B=0$ . С $\mu=\mu_0$ каждый $\vec H=-\operatorname{grad}\phi$ для любой гармонической функции $\phi$ допустимо. Поле не возникает из ниоткуда, просто источник поля находится не в рассматриваемой окрестности. Например, это может быть магнитное поле Земли.

ПрофРоб · Answer 2

Ответ - нет - вы не можете полностью определить магнитное поле из электрического поля (или наоборот) без граничных условий. Причина в том, как вы правильно предполагаете, что существует «константа» интегрирования, которая постоянна только по времени, а не по положению.

Это дополнительное стационарное поле может быть создано независимым от времени скалярным потенциалом с ненулевым градиентом. Основная причина этой неоднозначности заключается в том, что в уравнениях Максвелла Е-поле генерируется из частной производной В-поля по времени и наоборот. Таким образом, стационарное B-поле не влияет на E-поле и наоборот.

Но мы знаем это из здравого смысла - присутствие магнитного поля Земли не влияет на световой луч, который я освещаю через класс - зависящие от времени E- и B-поля, связанные с электромагнитной волной, все еще находятся в направлениях и имеют той же амплитуды, что они имели бы, если бы магнитного поля Земли не было.

гипортнекс · Answer 3

Для антенны конечного размера вы должны наложить условие излучения Зоммерфельда http://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_condition . Константа B этому не удовлетворяет и, очевидно, не имеет конечной энергии. Хотя вы можете добавить константу B в уравнение, она исключается по этим причинам как нефизическая. Плоские волны также нефизичны не только потому, что они обладают бесконечной энергией, но и потому, что их может генерировать только излучатель бесконечного размера.

Константы интегрирования в уравнениях Максвелла (неоднозначность?)

Сокоб

Ответы (3)

Тобиас

Сокоб

Тобиас

ПрофРоб

гипортнекс

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?

Зачем работникам высоковольтных линий электропередач костюм в клетке Фарадея?

Как ЭДС индукции может принимать отрицательные значения в законе индукции Фарадея?

Уравнения Максвелла - недоопределенные - единственность

Можно ли квалифицировать заряд, движущийся по открытой траектории, как ток?

Каковы граничные условия для электромагнитных волн, нормально падающих на границу раздела двух диэлектрических сред?

Что заставляет электромагнитные волны распространяться в свободном пространстве?

С точки зрения закона Ампера-Максвелла, почему E⃗ =0E→=0\vec {E}=0 в проводе конденсаторной цепи?

Сомнения в тензоре напряжений Максвелла

При изучении электродинамики мы принимаем уравнения Максвелла или выводим их?