Когда можно оценить глобальную симметрию?

Руководящий принцип: «Аномальные симметрии не могут быть измерены». Феномен аномалий не ограничивается квантовыми теориями поля. Аномалии существуют и в классических теориях поля (я пытался подчеркнуть этот момент в своем ответе на этот вопрос ).

(Как уже упоминалось в вопросе), на классическом уровне симметрия является аномальной, когда алгебра Ли ее реализации в терминах полей и их сопряженных импульсов (т.е. в терминах алгебры Пуассона лагранжевой теории поля) развивается расширение относительно его действия на полях. Это как раз случай комплексного сдвига поля на лагранжиане Шрёдингера.

В галилеевых (классических) теориях поля наличие аномалий сопровождается генерацией приращения полной производной к лагранжиану, что вновь проявляется в случае полевой сдвиговой симметрии лагранжиана Шрёдингера, но это не является общим требованием . (пожалуйста, см. еще раз мой ответ выше, относящийся к генерации массы как центральному расширению в механике Галилея).

В более современной терминологии невозможность калибровки называется препятствием к эквивариантным расширениям данных лагранжианов. Нетривиальное семейство классических лагранжианов, демонстрирующее нетривиальные препятствия, — это лагранжианы, содержащие члены Весса — Зумино — Виттена. С учетом этих членов можно калибровать (классически) только свободные от аномалий подгруппы групп симметрии. Эти подгруппы состоят как раз из свободных от аномалий. Калибровка и препятствие к ней могут быть получены с помощью теории эквивариантных когомологий, см. следующую статью Компеана и Паниагуа и ее список литературы.

I) Тема измерения глобальных симметрий - довольно обширная тема, которую трудно уместить в ответ Phys.SE. Рассмотрим для простоты только одно (и, следовательно, обязательно абелево) непрерывное инфинитезимальное преобразование$^1$

$$\tag{1} \delta \phi^{\alpha}(x)~=~\varepsilon(x) Y^{\alpha}(\phi(x),x),$$

где $\varepsilon$— бесконечно малый действительный параметр, а $Y^{\alpha}(\phi(x),x)$генератор, такой, что преобразование (1) является квазисимметрией$^2$лагранжевой плотности

$$\tag{2} \delta {\cal L} ~=~ \varepsilon d_{\mu} f^{\mu} + j^{\mu} d_{\mu}\varepsilon$$

всякий раз, когда $\varepsilon$х $x$-независимый глобальный параметр, такой, что последнее слагаемое справа. экв. (2) исчезает. Здесь $j^{\mu}$и

$$\tag{3} J^{\mu}~:=~j^{\mu}-f^{\mu}$$

соответственно затравочный и полный нётеровские токи. Соответствующий закон сохранения на оболочке гласит$^3$

$$\tag{4} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0,$$

ср. Первая теорема Нётер . Здесь $f^{\mu}$являются так называемыми терминами улучшения, которые не определяются однозначно из уравнения. (2). При мягких предположениях можно частично исправить эту неоднозначность, приняв следующее техническое условие

$$\tag{5}\sum_{\alpha}\frac{\partial f^{\mu}}{\partial(\partial_{\nu}\phi^{\alpha})}Y^{\alpha}~=~(\mu \leftrightarrow \nu),$$

что будет важно для следующей теоремы 1. Без ограничения общности можно считать, что исходная лагранжева плотность

$$\tag{6} {\cal L}~=~{\cal L}(\phi(x), \partial \phi(x); A(x),F(x);x).$$

зависит уже (возможно тривиально) от $U(1)$калибровочное поле $A_{\mu}$и его абелева напряженность поля

$$\tag{7} F_{\mu\nu}~:=~\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.$$

Бесконечно малое абелево калибровочное преобразование определяется как

$$\tag{8} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon.$$

Введем ковариантную производную

$$\tag{9} D_{\mu}\phi^{\alpha}~=~\partial_{\mu}\phi^{\alpha} - A_{\mu}Y^{\alpha},$$

который ковариантно преобразуется

$$\tag{10} \delta (D_{\mu}\phi)^{\alpha}~=~\varepsilon (D_{\mu}Y)^{\alpha}$$

при калибровочных преобразованиях (1) и (8). Тогда при мягких предположениях можно доказать следующую теорему 1.

Теорема 1. Калибровочные преобразования (1) и (8) являются квазисимметрией для следующей так называемой калибровочной лагранжевой плотности

$$\tag{11} \widetilde{\cal L}~:=~ \left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}+\left. A_{\mu} f^{\mu}\right|_{\partial\phi\to D\phi}.$$

II) Пример: свободная теория поля Шрёдингера. Волновая функция $\phi$представляет собой комплексное (четное по Грассману) поле. Плотность Лагранжа читается (положив $\hbar=1$):

$$\tag{12} {\cal L} ~=~ \frac{i}{2}(\phi^*\partial_0\phi - \phi \partial_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(\partial_k\phi)^*\partial^k\phi.$$

Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа является свободным уравнением Шрёдингера

$$0~\approx~\frac{\delta S}{\delta\phi^*} ~=~ i\partial_0\phi~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi$$ $$\tag{13} \qquad \Leftrightarrow \qquad 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta\phi} ~=~ -i\partial_0\phi^*~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi^*.$$

Бесконечно малое преобразование

$$\tag{14} \delta \phi~=~Y\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta \phi^*~=~Y^*\varepsilon^*,$$

где $Y\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$является фиксированным ненулевым комплексным числом. Имейте в виду, что приведенная выше теорема 1 применима только к одному вещественному преобразованию (1). Здесь мы пытаемся применить теорему 1 к сложному преобразованию, поэтому у нас может и не получиться, но посмотрим, как далеко мы продвинемся. Комплексные нётеровские токи

$$\tag{15} j^0~=~ \frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad j^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*, \qquad k~\in~\{1,2,3\},$$

$$\tag{16} f^0~=~ -\frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad f^k~=~0,$$

$$\tag{17} J^0~=~ iY\phi^*, \qquad J^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*,$$

и соответствующие комплексно-сопряженные отношения уравнений. (15)-(17). Бесконечно малое комплексное калибровочное преобразование определяется как

$$\tag{18} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta A_{\mu}^*~=~d_{\mu}\varepsilon^*.$$

Лагранжева плотность (11) имеет вид

$$\widetilde{\cal L} ~=~\frac{i}{2}(\phi^*D_0\phi - \phi D_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi +\frac{i}{2}(\phi Y^* A_0^* - \phi^*Y A_0)$$ $$\tag{19} ~=~\frac{i}{2}\left(\phi^*(\partial_0\phi-2Y A_0) - \phi (\partial_0\phi-2YA_0)^*\right) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi .$$

Подчеркнем, что плотность лагранжиана $\widetilde{\cal L}$это не просто минимально связанная исходная лагранжева плотность$\left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}$. Последний член в правой части. экв. (11) тоже важно. Бесконечно малым калибровочным преобразованием лагранжевой плотности является

$$\tag{20} \delta\widetilde{\cal L}~=~\frac{i}{2}d_0(\varepsilon^*Y^*\phi -\varepsilon Y\phi^*) + i|Y|^2(\varepsilon A_0^* - \varepsilon^* A_0)$$

для произвольного бесконечно малого $x$-зависимый локальный калибровочный параметр $\varepsilon=\varepsilon(x)$. Заметим, что локальные комплексные преобразования (14) и (18) не являются (квази)калибровочной симметрией лагранжевой плотности (19). Непроходимость — второй член справа. экв. (20). Только первый член в правой части. экв. (20) является полной производной по времени. Однако ограничим калибровочный параметр $\varepsilon$и калибровочное поле $A_{\mu}$принадлежать фиксированному комплексному направлению в комплексной плоскости,

$$\tag{21}\varepsilon,A_{\mu}~\in ~ e^{i\theta}\mathbb{R}.$$

Здесь $e^{i\theta}$— некоторый фиксированный фазовый множитель, т. е. мы оставляем только одну вещественную калибровку д. о. Тогда второй член в правой части. экв. (20) обращается в нуль, поэтому калибровочная плотность лагранжиана (19) обладает вещественной (квази) калибровочной симметрией в соответствии с теоремой 1. Отметим, что поле $\phi$все еще является полностью комплексной переменной даже с ограничением (21). Также отметим, что лагранжева плотность (19) может обрабатывать как вещественные, так и мнимые преобразования локального сдвига (14) как (квази) калибровочные симметрии через конструкцию ограничения (21), хотя и не одновременно.

III) Неполный список для дальнейшего изучения:

1. Питер Уэст, Введение в суперсимметрию и супергравитацию, 1990, гл. 7.

2. Хеннинг Самтлебен, Лекции по калиброванной супергравитации и компактификациям потоков, класс. Квант. Грав. 25 (2008) 214002, архив: 0808.4076 .

--

$^1$Преобразование (1) для простоты предполагается так называемым вертикальным преобразованием. В общем, можно также допустить горизонтальные вклады от вариации $x$.

$^2$Понятие квазисимметрии см., например, в этом ответе Phys.SE.

$^3$Здесь $\approx$символ означает равенство по модулю уравнения движения (еом). Слова on-shell и off-shell относятся к тому, удовлетворен ли eom или нет.

Во-первых, нельзя измерить симметрию, не модифицируя (обогащая) содержимое поля. Калибровка симметрии означает добавление калибровочного поля и соответствующих взаимодействий (например, путем ковариантизации всех членов с производными в случае как симметрии Янга-Миллса, так и симметрии диффеоморфизма).

Глобальная и калибровочная симметрии — разные сущности, когда дело доходит до их физических интерпретаций; но они также разные объекты, когда дело доходит до степени симметрии, которую они на самом деле несут.

Что касается последнего отличия, то симметрия является калибровочной, если параметры преобразований $\lambda$может зависеть от координат пространства-времени, $\lambda = \lambda(\vec x,t)$. Если могут, то могут, и теория обладает калибровочной симметрией; если они не могут, они не могут, и теория имеет не более чем глобальную симметрию. Здесь не может быть никакой двусмысленности; вы не можете «оценить симметрию, вообще ничего не меняя».

Что касается первого различия, калибровочные симметрии следует рассматривать как избыточность: физические конфигурации (классически) или квантовые состояния (квантово-механически) должны считаться физически идентичными, если они отличаются только калибровочным преобразованием. Для калибровочных симметрий Ли это эквивалентно утверждению, что физические состояния должны уничтожаться генераторами калибровочных симметрий. Для любой локальной симметрии, описанной в предыдущем абзаце, обычно генерируются нефизические состояния (отрицательной нормы и т. д.), и их необходимо отделить — классифицировать как нефизические.

В случае Янга-Миллса глобальная симметрия может быть калибрована, но окончательный спектр должен быть свободен от аномалий, потому что калибровочные аномалии являются физическими несоответствиями именно потому, что калибровочные симметрии являются просто избыточностью, и нельзя «нарушать» их спонтанно, потому что они действительно уменьшить физический спектр до постоянного. В этом отношении они отличаются от глобальных симметрий, которые могут быть нарушены. Конечно, даже аномальную глобальную симметрию можно калибровать, добавляя калибровочные поля и другие поля, способные устранить калибровочную аномалию.

Наконец, сдвиговая инвариантность безмассовой дираковской $\psi$в вашем примере физически соответствует возможность добавить в систему фермион с нулевым импульсом и нулевой энергией. Это просто способ найти «новое решение» этой теории, которое возможно, потому что $\psi$связано только через производные термины. Симметрия не была бы симметрией, если бы существовал массовый член.

Вы можете легко измерить эту симметрию, заменив $\psi$с $\psi+\theta$везде в действии и продвижении $\theta$к новому полю, которое играет ту же роль, что и новое калибровочное поле $A_\mu$если вы измеряете глобальную симметрию Янга-Миллса. Таким образом, у вас будет в два раза больше фермионных степеней свободы вне оболочки, но действие не будет зависеть ни от одной из них, $\psi+\theta$(обратный знак), вообще. Так что это поле создаст призрачные частицы, которые ни с чем больше не взаимодействуют — фактически, у них даже нет кинетических членов. Ясно, что эти динамически недетерминированные кванты не должны учитываться в физической теории (хотя в каком-то смысле они «просто» увеличивают вырождение каждого состояния физических полей на бесконечный дополнительный множитель), поэтому правильный способ трактовать их, как всегда в калибровочных теориях, состоит в том, чтобы потребовать, чтобы физические состояния не могли содержать никаких таких квантов.

Это требование эффективно возвращает вас к исходной теории, только с $\psi$переименован в $\psi+\theta$. Вы не получите новую интересную теорию таким образом, и нет никаких причин, по которым калибровка симметрии всегда должна давать такую ​​интересную новую теорию. Случай теорий Янга-Миллса или вообще ковариантных теорий отличается тем, что они интересны: с лоренц-ковариантным содержанием поля можно создавать теории без призраков (состояний с отрицательной нормой), несмотря на то, что они предсказывают существование спиновых состояний. одна или две частицы со спином (из калибровочного поля, которое является метрическим тензором в случае спина два). Но это возможно только потому, что эти теории особенные и действие преобразований симметрии менее тривиально, чем в вашем случае. Симметрии «сдвига» можно измерять только таким образом, чтобы переименовывать или стирать целые поля, поэтому они просто не могут привести к новым интересным возможностям.

Предполагая, что следующие манипуляции верны, трансляционную симметрию вашего лагранжиана можно измерить, включив скалярное калибровочное поле $\phi$и калибровочное поле одной формы $A_{\mu}$.

Прежде всего, предполагая, что граничные члены не дают вклада, мы можем записать плотность лагранжиана в виде

$$\mathscr L=\psi^\dagger i\partial_t\psi-\frac{1}{2m}(\partial^{\mu}\psi)^{\dagger}\partial_{\mu}\psi.$$

Теперь пишем $\psi$как $\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$перевод $\psi$можно записать как $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

Алгебра Ли группы матриц вида $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$это набор матриц $\left[ \begin{array}{cc} 0 & a+ib\\ 0 & 0\\ \end{array}\right]$

Теперь для калибровки этой симметрии введем алгебру Ли со значениями в форме $A=A_{\mu}dx^{\mu}$которое при калибровочном преобразовании

$\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]\rightarrow \left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

трансформировать как

$A_{\mu}\rightarrow g(x)A_{\mu}g(x)^{-1}+(\partial_{\mu}g(x))g(x)^{-1}$

Где $g(x)=\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$

Однако заметим, что лагранжиан

$$\mathscr L=\psi^\dagger i(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi.$$

не является калибровочно-инвариантным и не вещественным.

Препятствием к калибровочной инвариантности является тот факт, что $\psi^{\dagger}$не преобразуется умножением справа на $g(x)^{-1}$а скорее правым умножением на $g(x)^{\dagger}$

Чтобы исправить калибровочную инвариантность, можно ввести скалярное калибровочное поле со значениями матрицы $\phi$чья экспонента при изменении калибровки изменяется как

$exp(\phi(x))\rightarrow (g(x)^{\dagger})^{-1}exp(\phi(x))g(x)^{-1}$

(как $\phi$изменять? Я не уверен)

Тогда мы видим, что лагранжиан

$$\mathscr L=\psi^\dagger iexp(\phi(x))(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}exp(\phi(x))(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi.$$

является калибровочно-инвариантным. Однако все же лагранжиан не является реальным. Чтобы исправить это, мы можем включить в него комплексное сопряжение каждого термина.