Что происходит с глобальной симметрией U(1)U(1)U(1) в альтернативных формулировках квантовой механики?

Это будет только частичный ответ, я надеюсь, что все в порядке.

В квантовой механике Шрёдингера обычно работают с комплексными векторами$\Psi$которые нормированы как$\|\Psi\| = 1$. Это по-прежнему оставляет свободу выбора$U(1)$фаза. Однако это не симметрия и, в частности, не имеет ничего общего с сохранением электрического заряда.

1) Если вспомнить аксиомы квантовой механики, то они говорят, что физические состояния представляются лучами в гильбертовом пространстве, т.е. комплексными одномерными подпространствами$\mathbb{C} \Psi$. В расчетах часто бывает полезно выбрать конкретного представителя этого класса эквивалентности$\Psi$и сформулировать уравнение эволюции для этого представителя. Однако результирующие пути лучей$\mathbb{C} \Psi(t)$, не может зависеть от выбора представителя, так как все векторы одного луча физически неразличимы. Отсюда и «симметрия» относительно поворотов фаз. Если бы его не было, мы бы совершили ошибку!

2) В квантовой механике многих частиц данный гамильтониан может сохранять число частиц или электрический заряд, а может и не сохранять. Обозначим через$N$оператор имеет собственное значение$n$при применении к$n$-вектор частицы$\Phi$. Тогда$U(1)$-симметрия, связанная с сохранением числа частиц, равна

$U(1) \ni e^{i \varphi} : \Psi \mapsto e^{-i N \varphi} \Psi$,

То есть вращается все$n$-частичные компоненты волновой функции с разной фазой. Это не изменение представителя на луче, и поэтому оно имеет физический смысл. Обратите внимание, как это выглядит при вторичном квантовании, т.е. введите оператор$a(\psi)^\dagger$с$\psi$одночастичная волновая функция и

$a(\psi)^\dagger \Omega = \psi$

где$\Omega$является вакуумом Фока. Тогда выше$U_1$преобразование симметрии индуцирует действие операторов

$U(1) \ni e^{i \varphi} : a(\psi)^\dagger \mapsto e^{i N \varphi} a(\psi)^\dagger e^{-i N \varphi} = e^{i \varphi} a(\psi)^\dagger$

3) В формализме интеграла по путям для$n$бозонной квантовой механики, часто используется представление в терминах операторов рождения и уничтожения, т. е. действие является функционалом комплексных функций$\{a_i(t)\}_{i=1,2,\cdots n}$:

$S[a(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \left[ \sum_i \overline{a}_i(t)\partial_t a_i(t) - H(\{a_i(t)\}_{i=1,2,\cdots n})\right] d t$

и система сохранит число частиц, если оно инвариантно относительно$U(1)$фазовые повороты операторов.

В формулировке пилотной волны свобода выполнять фазовые сдвиги волновой функции$\Psi$соответствуют свободе добавлять полную производную по времени к лагранжиану:

Это происходит потому, что для вывода уравнений формулировки волны-пилота мы используем анзац

Это приводит к двум уравнениям: уравнению неразрывности и уравнению Гамильтона-Якоби, которое говорит нам, что мы можем интерпретировать$S$как действие.

Теперь фазовый сдвиг волновой функции означает

(В этом смысле калибровочные преобразования представляют собой особый тип известных канонических преобразований, см. эту статью .)