Каков математический смысл и условие локального сохранения заряда Нётер?

Количество$Q$с плотностью$\rho(t,x)$(такой, что$Q(V) = \int_V \rho(t,x)\mathrm{d}x$это количество$Q$внутри$V$) глобально сохраняется , если глобальное количество$Q$является постоянным, т.е.$\int\rho(x)$не зависит от времени, если интегрировать по всему пространству$M$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_M \rho(t,x)\mathrm{d}x=0\tag{1}$$ Такая величина локально сохраняется, если для каждого объема $V$у нас есть это $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho = \nabla j,\tag{2}$$ где $j$плотность тока $Q$, т.е. функция говорит , сколько из$Q$пересекает заданную единицу площади за заданную единицу времени .

Теорема Нётер утверждает, что для каждой квазисимметрии действия существует локально сохраняющаяся величина. Понятие «локального сохранения» не связано с понятием «локальные симметрии» (т. е. калибровочные симметрии).

Существует несколько иное понятие локального сохранения по сравнению с глобальным в контексте, например, общей теории относительности (следующее перефразировано из этой статьи Баеза , для более подробного обсуждения глобального сохранения энергии в ОТО см. этот вопрос и связанные с ним вопросы): Здесь вы часто встретите людей, утверждающих, что что-то (например, энергия или импульс) сохраняется локально, но не глобально, и это означает, что в то время как дифференциальное утверждение, подобное$\dot{\rho} = \nabla j$его классически эквивалентная интегральная формулировка

$$\int_V \rho(t_1,x)\mathrm{d}x - \int_V \rho(t_2,x)\mathrm{d}x = \int_{\partial V}\int_{t_0}^{t_1} \rho(t,x)\mathrm{d}t\mathrm{d}S\tag{3}$$ не держится, если $\rho,Q$являются не скалярами, а векторами/тензорами, как в случае тензора энергии-импульса. В этом случае дифференциальное уравнение является «локальной» постановкой, а интегральная формулировка — «глобальной».