Коллапс волновой функции и уравнение Шредингера без измерения

Следуя фон Нейману, процесс измерения — это всего лишь особый тип взаимодействия между двумя системами, который следует особым правилам, когда речь идет об усреднении конкретной наблюдаемой величины.$X$.

Позволять$H$быть гильбертовым пространством,$(\Omega,\mathscr{B})$борелевское пространство с$\Omega\subseteq \mathbb{R}$и$\mathscr{B}$Борель$\sigma$-алгебра на$\Omega$. С помощью спектральной теоремы самосопряженная наблюдаемая однозначно определяется проекционнозначной мерой$X:\mathscr{B}\to \mathcal{L}(H)$такой, что$X(\Omega)=1$. Здесь$\mathcal{L}(H)$обозначает ограниченные операторы на$H$. Состояние системы$\rho$является положительным следом один оператор (матрица плотности).

В штате$\rho$, вероятность того, что результат измерения$X$находится в подмножестве$B\in \mathscr{B}$возможных значений задается

$$\mathrm{Prob}(X\in B; \rho)=\mathrm{Tr}[\rho X(B)]\; .$$

Теперь пусть$K$— другое гильбертово пространство,$\sigma$состояние на$K$. Тогда формула

$$\mathrm{Tr}[\rho E_\sigma(x)]=\mathrm{Tr}[(\rho\otimes\sigma) x]$$ где $x\in \mathcal{L}(H\otimes K)$, и $\rho$это государство на $H$, определяет карту из операторов на $\mathcal{L}(H\otimes K)$операторам на $\mathcal{L}(H)$такое, что для любого оператора $x=a\otimes 1$, где $1$тождественный оператор, $E_\sigma(a\otimes 1)=a$.

Теперь, учитывая наблюдаемое$X$на гильбертовом пространстве$H$с пространством значений$(\Omega,\mathscr{B})$, процесс измерения для$X$четверной$(K,\tilde{X},\sigma,U)$состоящее из гильбертова пространства$K$, наблюдаемый$\tilde{X}$на$K$с пространством значений$(\Omega,\mathscr{B})$, Штат$\sigma$на$K$, и унитарная эволюция$U$на$H\otimes K$удовлетворяющие соотношению:

$$\begin{equation} \tag{1} X(B)=E_\sigma\bigl(U^*(1\otimes \tilde{X}(B))U\bigr) \end{equation}$$ для любого $B\in \mathscr{B}$. Гильбертово пространство $K$представляет аппаратную систему, наблюдаемую $\tilde{X}$означает положение стрелки на шкале измерительного прибора. Измерение осуществляется взаимодействием между $H$и $K$описывается унитарной эволюцией $U$который принимает форму $$U=e^{-it (H_{1}\otimes 1+1\otimes H_{2}+ H_{int})}\; ,$$ где $t\in\mathbb{R}$время, необходимое для измерения.

Требование (1) равносильно утверждению, что распределение вероятностей$\mathrm{Prob}(X\in B;\rho)$результата, находящегося в$B\in\mathscr{B}$должно совпадать с вероятностью$\mathrm{Prob}(\tilde{X}\in B;U(\rho\otimes\sigma)U^*)$эволюционировавшей системы во времени$t$.

Теперь это математическая формулировка процесса измерения. Мы должны заметить, что процесс изменяет состояние$\rho$, "сворачивая" его в состояние$\rho^B$после измерения, заданного

$$\rho^B= \frac{1}{\mathrm{Tr}[\rho X(B)]}\mathrm{Tr}_K \bigl[U(\rho\otimes\sigma)U^* (1\otimes \tilde{X}(B))\bigr]\; ,$$ где $\mathrm{Tr}_K$обозначает частичный след на $K$. Однако это не физическая операция, а удобство, которым мы пользуемся, потому что мы хотели бы рассмотреть после измерения систему $H$отдельно, а не всю систему $H\otimes K$. Однако для всей системы не произошло ничего отличного от обычной эволюции Шредингера.

Конечно, вы можете подумать о развитии системы$H\otimes K$к$U$независимо от процесса измерения. И начиная с состояния$\rho\otimes \sigma$, вы получите через время$t$штат$U(\rho\otimes\sigma)U^*$. Однако только после частичного усреднения по$K$наблюдаемый$(1\otimes \tilde{X}(B))$что мы получили свернутое состояние$\rho^B$. И последняя операция действительно является актом измерения. Так что я не вижу, как государство могло бы рухнуть, не участвуя в акте измерения.

Коллапсирует ли волновая функция без измерения?

Да и нет. Коллапс — иногда полезная фикция. Иногда можно представить, что подсистема эволюционировала в определенное состояние, в свернутое состояние.

Поскольку все материи описываются волновыми функциями, то, в принципе, я должен быть в состоянии описать коллапс волновой функции уравнением Шрёдингера. (правда не знаю как именно)

Просто запишите состояние устройства, используемого для измерения, и используйте правильный гамильтониан, описывающий взаимодействие. Как и любая временная эволюция. Опишите систему, используя правильный гамильтониан.

Единственная разница между коллапсом и отсутствием коллапса заключается в том, смотрите ли вы на волновую функцию целиком или же вы смотрите на части и притворяетесь, что части представляют собой целое.

Коллапс — полезная фикция, когда притворяться проще, чем не притворяться, и когда притворство также не приводит к ошибкам.

Коллапс — это не физический процесс, который происходит. Это полезная фикция, чтобы упростить реальное событие, которое уже произошло. Реальная вещь, которая уже произошла, состоит в том, что система развилась в части, которые теперь независимы и останутся независимыми.

Вот простой пример. У вас есть суперпозиция гауссовой свободной частицы, идущей вправо, и одной, идущей влево, и они перекрываются. Поскольку они перекрываются, взаимодействия в перекрытии будут зависеть от обеих гауссовских волн.

Но мы могли подождать. Когда мы ждем, что одна гауссова диаграмма идет влево (и расширяется), а другая идет вправо (и расширяется), мы можем начать понимать фикцию, что есть только одна гауссова, идущая вправо, и одна слева, идущая влево. Но сейчас это было бы преждевременно, потому что они могут столкнуться с барьером, отразиться и снова начать пересекаться.

Однако волновая функция определена в конфигурационном пространстве и существуют другие частицы. Таким образом, волна, идущая вправо, может достичь области конфигурационного пространства, где эта частица находится близко к другой частице, и может отклонить ее. Это означает, что весь карниз в конфигурационном пространстве повернулся, направление волны в$\hat x_1$направление теперь отклоняется, чтобы идти немного в$\hat x_2$направление тоже. Но эта волна, идущая влево, приближается к другой частице, и поэтому волны отклоняются в$\hat x_3$направление.

И эти разные частицы, описываемые$x_2,y_2,z_2$и$x_3,y_3,z_3$сами могут группироваться в частицы, описываемые$x_4,y_4,z_4$и$x_5,y_5,z_5$(с частицей два, взаимодействующей с четырьмя, и частицей 3, взаимодействующей с частицей 5). И это может снежный ком. В конце концов, две волны были отклонены в стольких разных направлениях в огромном конфигурационном пространстве, что даже если первоначальные волны столкнутся с реальными барьерами и отразятся, маловероятно, чтобы другая волна столкнулась с барьером в точном месте и в то время, чтобы направьте его так, чтобы они перекрывались.

Таким образом, каждый из них может действовать так, как будто они являются единственной волной. Никто не пытался измерять какого-то конкретного оператора. Но система превратилась в части, с которыми теперь можно работать независимо. И поэтому становится приемлемым и даже потенциально полезным делать вид, что он эволюционировал в одну из этих двух волн.

---

Спасибо за подробное объяснение, но я слышал о том, что такой гамильтониан не будет унитарным, следовательно, это все еще сомнительно?

Если записать волновые функции предмета и прибора, то правильный гамильтониан, описывающий их взаимодействие, даст унитарную временную эволюцию. И это приведет к тому, что состояние перерастет в запутанное состояние, в котором субъект и устройство запутаны с разными проекциями субъекта, запутаны с разными состояниями устройства.

Например, вы можете развиваться$\left(\alpha\psi_{s1}+\beta\psi_{s2}\right)\otimes\psi_{d0}$в$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$. Это унитарная эволюция. И это совершенно определенно отличается от коллапса, который развивается$\left(\alpha\psi_{s1}+\beta\psi_{s2}\right)\otimes\psi_{d0}$в$\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$с вероятностью$|\alpha|^2$и в$\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$с вероятностью$|\beta|^2$.

Однако, когда состояние устройства связано со средой, две части,$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$и$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$каждый из них может вести себя как свой собственный мир и действовать так, как если бы он был единственной частью волновой функции.

Проблема в том, что когда вы рассматриваете объект, устройство и окружающую среду с помощью квантовой механики и всего с унитарной временной эволюцией, заданной фактическим гамильтонианом, вы получаете нечто, что действует так же, как коллапс. Итак, давайте сравним их.

Под коллапсом вы настаиваете, что мир описывается$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$или описывается$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$(общий масштаб на самом деле не влияет ни на какие прогнозы, вы можете вычислить$\langle\psi|\hat O|\psi\rangle/\ langle\psi|\psi\rangle$вместо$\langle\psi|\hat O|\psi\rangle$).

Выполнение фактической математики говорит нам, что мир описывается$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$но вместо того, чтобы волноваться о том, как по-разному они выглядят на бумаге, мы можем исследовать, как они выглядят в лаборатории.

А дело в том, что второй, правильный, будет похож на первый. Мир, описанный$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$будет состоять из двух частей,$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$часть и$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$часть. И каждый будет вести себя так, как будто это единственная часть в мире. Итак$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$часть будет развиваться так, как если бы весь мир описывался$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$. И$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$часть будет развиваться так, как если бы весь мир описывался$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$.

Итак, фактическое состояние$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$будут экспериментально неотличимы от предсказания, в которое вы эволюционируете.$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$или в$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$.

Самым большим препятствием для людей, которые не садятся и не делают математику для фактического взаимодействия (если вы сели и сделали это, вы никак не могли подумать, что это не унитарно), это то, что люди привыкли к тому, что им говорят , что есть две разные эволюции: унитарная эволюция из гамильтониана и неунитарный коллапс.

А реальность такова, что вся наука требует способа связать аспекты математических моделей с результатами экспериментов и наблюдений. И дело в том, что люди, которые хотят иметь коллапс, связывают коллапс только с результатами наблюдений и экспериментов, и они просто не обсуждают, какими были бы экспериментальные и наблюдательные результаты регулярной волновой функции.

Как только вы обсудите, как выглядят наблюдаемые и экспериментальные результаты регулярной волновой функции, вы увидите, что регулярная эволюция унитарного времени создает нечто, что дает наблюдаемые и экспериментальные результаты, которые мы на самом деле видим.

Таким образом, каждая сторона применяет бритву Оккама.

Разрушающиеся люди говорят, что глупо иметь другие миры (т.$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$часть должна делать вид, что нет$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$часть и$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$часть должна делать вид, что нет$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$часть), и поскольку они возражают против того, чтобы какая-либо часть обладала невежеством, они постулируют, что должна быть только одна часть, и, таким образом, составляют совершенно новую эволюцию, чтобы каждая часть могла быть единственным миром во вселенной, а не просто быть независимой частью вселенной. .

С другой стороны, люди говорят, что глупо иметь два совершенно разных типа временной эволюции, когда обычная единая временная эволюция дает предсказания, точно соответствующие тому, что мы видим на самом деле. Вместо этого они предсказывают, что Вселенная эволюционирует, чтобы иметь части, которые действуют независимо, и, таким образом, каждая из них становится неосведомленной о том, что делает другая. Итак$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$ можно сделать вид что нет$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$части (и наоборот) по той простой причине, что они действуют независимо.

Люди коллапса на самом деле просто современные солипсисты. И они могут заявлять, что они просто пользуются бритвой Оккама, хотя люди, не знающие коллапса, тоже пользуются ею.

Если вам нравится солипсизм, тогда вам понравится коллапс, и цена, которую придется заплатить, — иметь две эволюции. И вы никогда не увидите никаких свидетельств коллапса, кроме солипсизма, потому что нет триггера или времени, когда это происходит, потому что вы постулировали совершенно новую временную эволюцию, которая не имела никаких экспериментально отличающихся последствий, и все, что она сделала, это позволила вам утверждать, что не может быть Не будь большей вселенной, чем та часть, с которой ты соединен.

Если вас не привлекает солипсизм, то вы сочтете глупым придумывать процесс физического коллапса, который не дает никаких новых предсказаний. И вы будете вынуждены заключить, что вселенная состоит из многих частей/миров, и экспериментально каждая часть может получить данные только о себе, и это экспериментальное ограничение, которое невозможно преодолеть.

[В основном], вы говорите, что весь коллапс волновой функции просто что-то для «подгонки данных»?

Я говорю, что ни коллапс, ни коллапс не делают одни и те же прогнозы, они просто извлекают прогнозы из математики по-разному. Некоторые люди считают глупым делать две разные временные эволюции, когда одну из них уже можно использовать для предсказаний, которые идеально соответствуют тому, что мы видим. Другие люди возражают против того факта, что математика ясно предсказывает, что Вселенная эволюционирует в части, которые не могут знать, что делают другие части, и скорее постулируют магический процесс коллапса, который делает так, что разные части остаются одинокими, а не невежественными.

Никто не делает разных прогнозов. Одна группа людей предсказывает части, каждая из которых ведет себя так, как будто эта часть одна. Другая группа людей предсказывает части, которые действительно одиноки.

Есть небольшая возможность различить их в той группе, в те дни, когда они ведут себя «как если бы» они были одни, есть супер супер крошечная способность взаимодействовать с другим, а не нулевая. Таким образом, если люди, принимавшие участие в коллапсе, на самом деле настаивали на том, что коллапс произошел в определенное время или в определенном месте как физический процесс, и были готовы платить людям, не признававшим коллапс, деньги за то, чтобы их неправота была доказана, тогда это в принципе возможно (хотя на самом деле это слишком сложно сделать с разумной уровень ресурсов и усилий), чтобы доказать, что крах людей неправ.

Проблема в том, что сторонники отсутствия коллапса говорят, что вы можете вести себя так, как если бы коллапс произошел именно тогда, когда становится слишком сложно обнаружить разницу. Так что не стесняйтесь вести себя так, будто коллапс произошел, когда это полезно и уместно. Только не волнуйтесь по этому поводу. Все это означает, что разницу между коллапсом и тем, что на самом деле предсказывает математика, слишком сложно заметить, и поэтому ее можно безопасно игнорировать.

По стандартной презентации QM да, коллапс есть.

Волновая функция развивается в пространстве не локальным образом, как, скажем, частица движется вдоль линии, а как эволюционирует воздушный шар, когда в него надувается воздух.

Измерение или взаимодействие является локальным; волновая функция - шарик схлопывается, скажем, там, где я уколол его иголкой.

Но вот в чем заключается загадка: воздушный шар схлопывается механическим и каузальным образом, т. е. из-за напряжения.

Но в волновой картине КМ, как только происходит измерение или взаимодействие, волна исчезает оттуда? Как сообщается - не через более базовую картинку, потому что КМ - это базовая картинка; именно эта проблематика локальности и реализма исследуется в мысленных экспериментах, таких как ЭПР и так далее.