Компоненты уравнения Дирака решают вывод уравнения Клейна-Гордана

Question

Компоненты уравнения Дирака решают вывод уравнения Клейна-Гордана

Физика
уравнение Дирака
матрицы Дирака
уравнение Клейна-Гордона

пользователь 5539410

На странице 90 этого набора конспектов лекций по квантовой теории поля, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf , дан простой вывод, показывающий, что каждое компонентное уравнение Дирака решает уравнение Клейна-Гордона. В выводе это тождество используется без пояснений:

γ^{мю} γ^{ν} \partial_{мю} \partial_{ν} "=" 1 / 2 {γ^{мю}, γ^{ν}} \partial_{мю} \partial_{ν}

$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=1/2\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}\partial_{\mu}\partial_{\nu}$ Примечания в их краткости, кажется, подразумевают, что это очевидно или тривиально, но я не могу этого понять. Антикоммутационные соотношения гамма-матриц этого не подразумевают (и действительно, антикоммутационные тождества фактически используются позже при выводе). Я думал, что вы могли бы показать это, используя исходное уравнение Дирака, выраженное в ковариантной форме, но я не добился большого прогресса и в этом.

Ответы (1)

Компоненты уравнения Дирака решают вывод уравнения Клейна-Гордана

Омри · Answer 1

$\mu$ и $\nu$ являются фиктивными индексами.
Поэтому значение выражения никак не может зависеть от них. Более того, если изменить $\mu\rightarrow\nu$ и $\nu\rightarrow\mu$ , значение не изменится.

Это означает:

γ^{мю} γ^{ν} \partial_{мю} \partial_{ν} "=" γ^{ν} γ^{мю} \partial_{мю} \partial_{ν}

$\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu=\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\mu\partial_\nu$ (Поскольку части коммутируют)
Теперь суммируйте их оба и разделите на два, чтобы получить результат, который вы хотите получить.

(Если вам не нравится $\mu\rightarrow\nu$ и $\nu\rightarrow\mu$ , так как некоторые люди сначала находят это запутанным, вы можете сначала сделать $\nu\rightarrow a$ и $\mu\rightarrow b$ и продолжайте оттуда)

Компоненты уравнения Дирака решают вывод уравнения Клейна-Гордана

пользователь 5539410

Ответы (1)

Омри

Быстрый вопрос о выводе уравнения Клейна – Гордона из уравнения Дирака.

Уравнение Клейна-Гордона только для бесспиновых частиц?

Почему уравнение Дирака требует, чтобы матрицы были инвариантны относительно вращения?

Более общее соотношение полноты для спиноров Дирака

Запись Клейна-Гордона в терминах гамма-матриц

От релятивистского уравнения к нахождению матриц Дирака

Диффеоморфизмы и действие Дирака

Можем ли мы сделать представление Дирака калибровочной теорией?

Почему обычно используются гамма-матрицы 4x4? [дубликат]

Как псевдоспин может быть вектором? (Графен)