Почему обычно используются гамма-матрицы 4x4? [дубликат]

У вас нет другого выбора , кроме как использовать$4\times 4$матрицы. Все эти «представления» являются различными реализациями (связанными преобразованиями подобия) единственно возможного неприводимого представления алгебры Клиффорда, натянутого на абстрактное$\gamma^\mu$. Это представление в некотором роде является определением того, что такое «спинор Дирака», и обычно это представление покрывающей группы группы вращений, но только проективное представление самой группы вращений. Кроме того, он не всегда неприводим как представление группы вращения (например, спинор 4D Диака распадается на два спинора Вейля, а также на два спинора Майорана).

В общем случае можно показать, что алгебра Клиффорда в$(1,d-1)$измерения имеют свои единственные неприводимые представления, заданные векторным пространством размерности$2^{\lfloor {d/2}\rfloor}$, который$2^2 = 4$, учитывая "операторы повышения/понижения"${\gamma^\pm}^k = \gamma^{2k}\pm\gamma^{2k+1}$по аналогии с обычным методом лестничных операторов для$\mathfrak{su}(2)$. Получается, что пространство, занимаемое$\lvert s_1,\dots,s_k\rangle$за$s_i=\pm 1/2$($s_i$являются собственными значениями$S^k = [\gamma^{+k},\gamma^{-k}]$) — единственное непротиворечивое нетривиальное неприводимое представление, которое вы можете построить. В нечетных измерениях есть два разных из них, которые отличаются хиральностью.

Другой способ использует группу$\Gamma^M$строится из продуктов$\gamma^{\mu_1}\dots\gamma^{\mu_k}$за$k \leq d$а также$\mu_1 < \mu_2 < \dots \mu_k$. $M$работает от$1$к$2^d$(еще одно надо показать...). Любое неприводимое представление алгебры Клиффорда является неприводимым групповым представлением этой группы.

Теперь рассмотрим$S = \sum_M \rho(\Gamma^M) N\sigma(\Gamma^M)^{-1}$для двух неприводимых представлений$\rho$размера$n$а также$\sigma$размера$n'$и любой$n\times n'$-матрица$N$. Вы можете показать, что$S\rho(\gamma^M) = \sigma(\gamma^M)S$, так$S$является переплетением, и по лемме Шура либо$S$обратим, поэтому$n=n'$, или же$S=0$. Итак, если есть два разных неприводимых представления, это говорит о том, что$\sum_M\rho(\Gamma^M)N\sigma(\Gamma^M)^{-1} = 0$на любой выбор$N$. Следовательно

$$\sum_M \rho(\Gamma^M)_{kl}\sigma(\Gamma^M)_{ij} = 0$$ для всех $k,l,i,j$. Выбор $k=l$а также $i=j$суммируя (т.е. взяв след двух матриц независимо) и размышляя о том, какие гамма-матрицы дают вклад в эти следы, можно заключить как для четного, так и для нечетного случая, что $n=n'$должно выполняться, и что существует одно неприводимое представление даже для $d$и два из них для нечетного случая.

Это хороший вопрос. Чтобы ответить на этот вопрос, давайте начнем с алгебры Клиффорда, созданной$\gamma$матрицы.

$$\begin{equation} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=2\eta_{\mu\nu} \end{equation}$$ с $\mu,\nu=0,1,2,\cdots N$с метрической подписью $\eta_{\mu\nu =}\text{diag}(+,-,-,-,\cdots,-)$. С использованием $I$а также $\gamma_{\mu}$мы можем построить набор матриц следующим образом $$\begin{equation} I, \gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\quad(\mu<\nu), \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\quad(\mu<\nu<\lambda),\cdots,\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{N} \end{equation}$$ Есть $$\begin{equation} \sum_{p=0}^{N}\binom{N}{p} = 2^{N} \end{equation}$$ такие матрицы. Давайте назовем их $\Gamma_{A}$, куда $A$работает от $0$к $2^{N}-1$. Теперь пусть $\gamma_{\mu}$находятся $d\times d$размерные неприводимые матрицы. Наша цель – найти связь между $d$а также $N$. Для этого определим матрицу $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} \end{equation}$$ . Где $Y$какой-то произвольный $d\times d$матрица. Отсюда следует, что $$\begin{equation} (\Gamma_{B})^{-1}S\Gamma_{B} = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A}\Gamma_{B})^{-1}Y\Gamma_{A}\Gamma_{B} =\sum_{C=0}^{2^N-1}(\Gamma_{C})^{-1}Y\Gamma_{C}=S \end{equation}$$ Где мы использовали $\Gamma_{A}\Gamma_{B}=\epsilon_{AB}\Gamma_{C}$, с $\epsilon_{AB}^{2}=1$Следовательно $$\begin{equation}S\Gamma_{A}=\Gamma_{A}S\end{equation}$$ С $S$коммутирует со всеми матрицами набора, по лемме Шура заключаем, что $S$должно быть пропорционально единичной матрице, чтобы мы могли написать $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \lambda I \end{equation}$$ Взяв трассировку, мы получаем $$\begin{eqnarray} \text{Tr} S & = & \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr} Y = \lambda d\\ \Rightarrow \lambda & = & \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{eqnarray}$$ или же $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{equation}$$ Принимая $(j; m)$матричный элемент обеих частей последнего уравнения дает $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1})_{jk}(\Gamma_{A})_{km} = \frac{2^{N}}{d}\delta_{jm} \delta_{kl} \end{equation}$$ куда $j; k; l; m = 1; 2;\cdots; d$и мы использовали тот факт, что Y является произвольным $d \times d$матрица. Если мы установим $j = k; l = m$и суммировать по этим двум индексам, что дает $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr}[(\Gamma_{A})^{-1}] \text{Tr}[\Gamma_{A}] = 2^{N}\end{equation}$$ Следует рассмотреть два случая, а именно $N$даже и $N$странный. За $N = 2M$(даже), $\text{Tr} \Gamma_{A} = 0$за исключением $\Gamma_{0} = 1$для которого $\text{Tr} \Gamma_{0} = d$. Который дает $$\begin{equation} d^2 = 2^N\qquad \text{or} \quad \boxed{d = 2^{N/2}} \end{equation}$$ Это главный результат. Для четырехмерного пространства Минковского-времени $N=4$следовательно, размерность неприводимого представления равна $d = 2^{4/2} =4$.