Почему уравнение Дирака требует, чтобы матрицы были инвариантны относительно вращения?

Термин с производными на самом деле является производной по направлению

$$\alpha^k\partial_k=\vec \alpha\cdot \nabla$$ а если применить к функции $f$он измеряет его изменение в этом конкретном направлении: $$\alpha^k\partial_kf=\vec \alpha\cdot \nabla f=|\vec\alpha|\frac{\partial f}{\partial\vec n} =|\vec\alpha|\lim_{\delta x\to0}\frac{f(\vec x+\delta x\:\vec n)-f(\vec x)}{\delta x}$$ где $\vec \alpha=|\vec \alpha|\:\vec n$. Если $\alpha$является фиксированным — если его записи представляют собой простые действительные числа, которые преобразуются как вектор, то эта производная по направлению будет продолжать указывать в этом конкретном направлении независимо от того, в какой системе координат вы находитесь. То есть она не инвариантна относительно вращения.

Не сразу очевидно, что проблему можно решить, сделав их матрицами, но, по крайней мере, должно быть ясно, что если они больше 1×1, им больше не нужно четко определять конкретное направление в пространстве. Как оказалось, матрицы Дирака содержат более сложное представление группы Лоренца (включая, среди прочего, повороты), и это позволяет им сохранять вращательную инвариантность уравнения.

Понимать:

(1) Как работают генераторы вращения:$-i\sigma^x$,$-i\sigma^y$и$-i\sigma^z$скрыты в спинорной волновой функции и

(2) Как производные 1-го порядка плоской волны могут дать соотношение$~~p_o^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2=m^2$,

вам нужно знать следующее фундаментальное тождество:

$\exp(-i\phi)~~\xi_s ~~=~~ \exp(-i\phi~~\vec{s}\cdot\vec{\sigma})~~\xi_s$

где$\xi_s$является спинором, указывающим в направлении$\vec{s}=\{s_x, s_y, s_z\}$и где$\vec{\sigma}=\{\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$

Это говорит нам о том, что добавление фазы$-i\phi$к волновой функции поворачивает спинорное поле на угол$2\phi$вокруг собственной оси . Это очень фундаментальное отношение! Если мы подставим это правильно в плоской волне, такой как$\exp(-ip_ot + i\vec{p}\cdot\vec{x})$, получим следующее выражение:

$\exp(-ip_ot + i~(\vec{s}\cdot\vec{\sigma})~(\vec{p}\cdot\vec{x})~)$

С использованием$\vec{s}=\vec{p}/p_o$, поскольку (светоподобный преобразующий) спинор вращается в направлении своего распространения, это дает.

$\exp\left(-i(~p_o^2t - (\vec{p}\cdot\vec{\sigma})~(\vec{p}\cdot\vec{x})~)~/p_o\right)~\xi_s$

Частная производная в, например,$x$-направление дает нам фактор$i~(p_x^2\sigma_x + p_xp_y\sigma_y+p_xp_z\sigma_z)/p_o$и теперь вы видите, каков эффект от умножения частных производных 1-го порядка на матрицы Паули, поскольку для всех квадратов

$(i\sigma_o)^2=(i\sigma_x)^2=(i\sigma_y)^2=(i\sigma_z)^2~~=~~-I$

и из-за правил антикоммутации отмените перекрестные члены:

$\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x=0,~~~~\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_y=0,~~~~\sigma_z\sigma_x+\sigma_x\sigma_z=0$

Следовательно, матричные умножения избавляются от матриц в частных производных, и мы получаем простые множители$~~p_o^2/p_o-p_x^2/p_o-p_y^2/p_o-p_z^2/p_o$. Что касается полного двухспинорного поля Дирака, то проще всего использовать релятивистское представление с двумя светоподобными трансформирующими спинорными компонентами$\xi_L$и$\xi_R$но из вышеизложенного вы получаете общее представление.