Диффеоморфизмы и действие Дирака

Question

Диффеоморфизмы и действие Дирака

Физика
спиноры
фермионы
уравнение Дирака
матрицы Дирака
qft-в-искривленном-пространстве-времени

проф. Леголасов

У меня вопрос по поводу фермионов в искривленном пространстве-времени. Пожалуйста, прочтите его до конца, прежде чем предлагать спин-соединение и подход, основанный на вирбайне.

Я слышал, что существует особый способ представления о частицах со спином 1/2 (фермионы Дирака) в плоском пространстве-времени: спинорное поле $\psi(x)$ считается (грассмановым) скалярным мультиплетом (при преобразованиях Лоренца), но матричнозначный 4-вектор $\gamma^{\mu}$ преобразуется как реальный 4-вектор.

Значение $\psi$ поле здесь находится в соответствии со значением обычного спинор-преобразующего поля, но взятого в некоторой фиксированной системе отсчета (в которой $\gamma^{\mu}$ принять обычные фиксированные значения). Количества, как $\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi$ преобразуются как векторы, поэтому этот формализм эквивалентен стандартному (с $\psi$ преобразование как спинорное и константное $\gamma^{\mu}$ ).

Тогда действие Дирака просто

С [ψ] "=" \int г^{4} Икс \bar{ψ} (я γ^{мю} \partial_{мю} - м) ψ,

$S[\psi] = \int d^4 x \: \bar{\psi} \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi,$ что явно лоренц-инвариантно в этом странном формализме.

Мой вопрос касается искривленного пространства-времени ОТО. Идея состоит в том, чтобы написать что-то вроде

С [ψ] "=" \int г^{4} Икс \sqrt{- г} \bar{ψ} (я γ^{мю} \partial_{мю} - м) ψ,

$S[\psi] = \int d^4 x \: \sqrt{-g} \: \bar{\psi} \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi,$ где

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ преобразуется как матричнозначный вектор при GCT,

\nabla_{μ} ψ

$\nabla_{\mu} \psi$ и

\partial_{μ} ψ

$\partial_{\mu} \psi$ эквивалентны, поскольку

ψ

$\psi$ в основном является (грассмановым) скалярным мультиплетом. Таким образом, это новое действие явно инвариантно к диффеоморфизму и согласуется с полем Дирака в пределе плоского пространства. Также (поскольку

{γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μ ν} \cdot 1_{4 \times 4}

$\left\{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \right\} = 2 g^{\mu \nu} \cdot 1_{4 \times 4}$ ) метрическое поле может быть построено из (более фундаментального?) матричного векторного поля

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ .

Мой учитель говорит, что это неправильно, и я почти уверен, что это так, но он не может объяснить, почему (и это меня действительно беспокоит). Одно из предположений состоит в том, что взаимодействие между фермионами и гравитацией, вероятно, неверно, поскольку отсутствует термин спиновой связи (как в стандартном подходе, основанном на Вирбейне).

Таким образом, возникает вопрос: что я должен добавить в этом действии, чтобы сделать член взаимодействия фермион-гравитация правильным, учитывая, что я не хочу отказываться от этого странного формализма и рассматривать спинорное преобразование $\psi$ .

пользователь1504

Этот формализм недоопределен, и для меня не очевидно, что он имеет смысл. Под GCT вы имели в виду общее преобразование координат, т.е. элемент

D i f f (R^{4})

$Diff(\mathbb{R}^4)$ ? Можно поточнее как

γ^{μ}

$\gamma^\mu$ предполагается трансформировать под эти?

Ответы (2)

Диффеоморфизмы и действие Дирака

Этот формализм недоопределен, и для меня не очевидно, что он имеет смысл. Под GCT вы имели в виду общее преобразование координат, т.е. элемент $Diff(\mathbb{R}^4)$ ? Можно поточнее как $\gamma^\mu$ предполагается трансформировать под эти?

Шон Похоренс · Answer 1

Проблема с аргументом (даже в пространстве-времени Минковского) заключается в том, что спиноры не являются скалярными мультиплетами. Обычный способ определения спиноров — указание их правила преобразования при преобразованиях Лоренца (см. раздел 4.1.1 http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf ), и это не то, как преобразовывался бы набор скалярных полей.

Однако вы можете продолжить и попытаться определить какое-либо поле предложенным выше способом. Проблема в том, что тогда объекты $\gamma^\mu$ которые вы определили, являются матричными векторами (т. е. для матричных индексов нет дополнительных правил преобразования). Комбинация

\bar{ψ} (я γ^{мю} \partial_{мю} - м) ψ

$\overline{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi$ тогда это просто сумма терминов, включающих скалярные поля

{\bar{ψ}}_{α} (я γ_{α β}^{мю} \partial_{мю} - м) ψ_{β} .

$\overline{\psi}_\alpha(i\gamma^\mu_{\alpha\beta}\partial_\mu - m)\psi_\beta.$ Хотя это инвариант Лоренца, это зависит от произвольного выбора векторов

γ_{α β}^{μ}

$\gamma^\mu_{\alpha\beta}$ . Это та же проблема, которая возникает при попытке определить дифференциальный оператор первого порядка, который является лоренц-инвариантным и не зависит от некоторого начального выбора предпочтительного вектора. Это мотивация для введения спиноров в уравнение Дирака.

пользователь220729 · Answer 2

Предложенный вами формализм совершенно правильный и не «странный», поскольку он обобщается на искривленное пространство-время, а обычный закон преобразования спиноров — нет. Единственная проблема заключается в вашем подынтегральном выражении, которое не имеет инвариантного значения координат. Просто замените частные производные ковариантными, и все в порядке.

1. При воздействии на скаляры ковариантные производные являются просто частными производными. 2. Я не согласен с «все в порядке», потому что в ответ я получаю не обычную теорию Дирака в искривленном пространстве-времени.

Диффеоморфизмы и действие Дирака

проф. Леголасов

пользователь1504

Ответы (2)

Шон Похоренс

пользователь220729

проф. Леголасов

Связь между античастицей и сопряженной Дираком? бар символ

Более общее соотношение полноты для спиноров Дирака

Частичное интегрирование оператора Дирака

Может ли существовать псевдовекторный кинетический термин для фермионов?

Имеет ли смысл относительный знак в уравнении Дирака?

Связь между спинорами и антикоммутационная связь фермионов

Как понять лагранжиан Дирака?

Волновая функция электрона

Размерность γγ\gamma-матриц Дирака

Условие перенормировки для фермионов.