Космология - Путаница по поводу визуализации Вселенной как поверхности 3-сферы

Координаты общей сферы с центром в каком-то произвольном месте было бы довольно сложно зафиксировать в одном выражении. Но если вы рассматриваете сферу (я имею в виду 2-сферу, расположенную в 3-сферном многообразии), центр которой находится в начале координат, то ограничения просты: просто выберите одно значение для$r$и разреши$\theta$и$\phi$изменяются во всем диапазоне ($\pi$и$2\pi$соответственно). Таким образом, вы можете очень легко получить площадь поверхности, а для объема вы бы сделали интеграл по$r$.

Чтобы определить местонахождение поверхности 2-сферы (в многообразии 3-сфер) в более общем виде, одним из способов было бы сначала указать местоположение$(r_0,\theta_0,\phi_0)$для центра, а затем найти геометрическое место точек на фиксированном расстоянии от этого центра, интегрируя метрику по набору геодезических, идущих наружу от центра. Я уверен, что это алгебраически не самый простой путь, и действительно можно было бы использовать кучу приемов из дифференциальной геометрии, но, к сожалению, я их не знаю.

Наконец, теперь ответ на общий вопрос о смысле$r,\theta,\phi$. Это хороший вопрос.$r$это координата, которая увеличивается при движении вдоль линии наружу от выбранного начала координат.$\theta$и$\phi$проведите вас по кругу с центром в начале координат и вместе вокруг сферической поверхности с фиксированной$r$. Таким образом, эти координаты очень похожи на знакомые сферические полярные координаты, которые можно использовать в евклидовой геометрии. Но будьте осторожны, это заявление об их роли в самом многообразии трех сфер, а не об их отношении к какому-либо вложению этого многообразия в многомерное пространство.

Общая элементарная координация$2$-сфера радиуса$R$использует два угла$(\theta,\phi)$как (со)широта и долгота. Если мы вложим сферу в$\mathbb R^3$, то точки$(x,y,z)$на поверхности принимают вид

$$\pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{R \sin(\theta)\cos(\phi)\\R\sin(\theta)\sin(\phi)\\ R\cos(\theta)}$$

Если мы ограничим$\theta \in (0,\pi)$и$\phi\in (0,2\pi)$, то это представляет собой координатную карту, которая охватывает все$2$-сфера кроме полюсов и линии$\phi=0$что их связывает. На этой диаграмме метрика имеет вид

$$\mathrm ds^2 = R^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2(\theta) \mathrm d\phi^2)$$

---

Альтернативный подход заключается в следующем. Вместо использования полярного угла$\theta$в качестве координаты мы можем использовать расстояние от$z$-ось, заданная$R\sin(\theta)$, который мы будем называть$r$. Эквивалентно,$r$длина окружности с центром на северном полюсе, деленная на$2\pi$. Обратите внимание, что на этой диаграмме мы можем охватить только северное (или южное) полушарие сферы, но это нормально. Встраивание$2$-сфера в$\mathbb R^3$, мы бы хотели иметь

$$\pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{r \cos(\phi)\\r\sin(\phi) \\ \sqrt{R^2-r^2}}$$ На этой диаграмме метрика имеет вид $$\mathrm ds^2 = \frac{1}{1-kr} \mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\phi^2,\qquad k\equiv \frac{1}{R}$$

Это должно выглядеть знакомо.

---

Расширения для$3$-сфера прямолинейна. Вложение «сферическая координата» использует три угла$\psi,\theta,\phi$и принимает вид

$$\pmatrix{x\\y\\z\\w} = \pmatrix{R\sin(\psi)\sin(\theta)\cos(\phi)\\R\sin(\psi)\sin(\theta)\sin(\phi)\\R\sin(\psi)\cos(\theta)\\R\cos(\psi)}$$

определение$r\equiv R\sin(\psi)$, это становится

$$\pmatrix{x\\y\\z\\w}=\pmatrix{r\sin(\theta)\cos(\phi)\\ r\sin(\theta)\sin(\phi) \\ r\cos(\theta)\\ \sqrt{R^2-r^2}}$$

и на этом графике метрика принимает вид

$$\mathrm ds^2 = \frac{1}{1-kr} \mathrm dr^2 + r^2(\mathrm d\theta^2 + \sin^2(\theta) \mathrm d\phi^2)$$ где еще раз$k\equiv 1/R$.

---

Моя проблема возникает, когда мы распространяем этот аргумент на 3-сферу. Что именно теперь представляют параметры?

В двумерном случае множество точек, равноудаленных от начала координат, образует (обобщенную) окружность (а$1$-сфера); координата$r$длина окружности этого круга, деленная на$2\pi$. Это не радиус круга, несмотря на обманчивое название.

Обобщая на трехмерный случай, множество точек, равноудаленных от начала координат, составляет$2$-сфера; координата$r$теперь представляет собой площадь поверхности этой сферы, деленную на$4\pi$. Это такая же интерпретация, как, например, «радиальная» координата Шварцшильда.

Как только вы выбрали несколько$r$, вы ограничили свое внимание$2$-сфера точек, находящихся на одинаковом расстоянии от начала координат. Углы$\theta$и$\phi$указать точку на этом$2$-сферу именно так, как это обычно делают в элементарных сферических координатах.

Чтобы проиллюстрировать мою проблему: предположим, мы хотим вычислить объем сферы радиусом$R_0$который существует на поверхности 3-сферы (K=1 Вселенная). Как бы мы это сделали, используя эту метрику?

Площадь поверхности сферы радиусом$r$просто$4\pi r^2$, что непосредственно следует из приведенной выше интерпретации. Объем шара радиуса$R_0$тогда прямо

$$V = \int_0^{R_0} 4\pi r^2 \frac{1}{1-kr} \mathrm dr = 4\pi \frac{kR_0(kR_0+2)+2\log(1-kR_0)}{2k^3}$$ что сводится к$\frac{4\pi R_0^3}{3}$в пределе как$kR_0 \rightarrow 0$, как и ожидалось.