Положительная локальная пространственная кривизна Вселенной означает, что Вселенная компактна (т.е. конечна)?

Я цитирую страницу Википедии о форме Вселенной :

Если пространственная геометрия [Вселенной] сферическая, т. е. обладает положительной кривизной, то топология компактна.

Я пытаюсь понять, верно ли цитируемое утверждение, в свете этого упрощенного примера:

Предположим, что у вас есть некоторая система координат для Вселенной,$t,x,y,z$, а кривизна пространства задается функцией$C(t,x,y,z)$. Предположим, что для всех$x$, два события$(t,x,y,z)$и$(t,x+L,y,z)$идентичны. Другими словами, размерность$x$является «компактным» с «периодом»$L$(Другими словами, топология этого пространства имеет окружность$S^1$как фактор, я думаю).

Теперь я могу определить другую вселенную с координатами$t,x,y,z$, такой, что$x$уже не компактный, т.$(t,x,y,z)$отличается от любого события$(t,x+L',y,z)$для всех$x$и$L'\neq 0$. Пусть для этой вселенной кривизна определяется той же функцией, что и выше.$C(t,x,y,z)$. Другими словами, эта новая вселенная имеет точно такую ​​же структуру локальной кривизны, как и исходная вселенная, но она больше не компактна.

Теперь я понимаю, что в этом примере я не упомянул кривизну (и, в частности,$S^1$плоский). Но нельзя ли такое же «разуплотнение» провести и для положительно искривленных пространств, показав, что положительная кривизна не обязательно подразумевает компактность Вселенной?

---

В качестве дополнительной мысли, если я представлю себе пространство как$2$-сфера со сферическими координатами $(\varphi,\theta)$($\varphi$азимут,$\theta$склонность,$(\varphi,\theta)=(\varphi+2\pi,\theta)$), то я мог бы сделать "разуплотнение", сделав$(\varphi,\theta)$и$(\varphi +2\pi,\theta)$быть различными точками в пространстве. Я вижу, однако, что это ломается на полюсе$\theta=0$, так как все точки с$\theta=0$идентичны. Но разве это проблема?