Кривизна пространства возле черной дыры

Я прочитал в Википедии, что «топология горизонта событий черной дыры в равновесии всегда сферическая».

Этот ответ разъясняет, что означает это утверждение. Это означает, что если мы начнем с любой черной дыры в четырехмерном пространстве-времени, а затем рассмотрим горизонт как трехмерное многообразие само по себе, это многообразие имеет топологию$S^2\times \mathbb{R}$, где$S^2$двусфера (поверхность шара) и$\mathbb{R}$это линия. Это утверждение о топологии, а не о геометрии. В частности, в утверждении (почти) ничего не говорится о геодезических (или параллельных линиях).

Кстати, это утверждение специфично для черных дыр в четырехмерном пространстве-времени. В пятимерном пространстве-времени черная дыра может иметь горизонт событий с несферической топологией.

Пример

Рассмотрим метрику Шварцшильда в четырехмерном пространстве-времени. Линейный элемент для пространственноподобных мировых линий равен

$$ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1}$$ где$A(r)$стремится к нулю на горизонте. Обозначение$d\Omega^2$является сокращением от сферической части координат: без множителя$A$, комбинация${dr^2}+r^2d\Omega^2$будет линейным элементом плоского трехмерного евклидова пространства в сферических координатах. Любое фиксированное значение$r$определяет трехмерное подмногообразие четырехмерного пространства-времени. Если$A(r)\neq 0$, индуцированная метрика на этом многообразии есть $$ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2}$$ где сейчас$r$и$A(r)$являются константами. Это стандартный показатель$S^2\times\mathbb{R}$, где множитель$\mathbb{R}$учитывает дополнительную координату$t$. На горизонте у нас$A(r)=0$, и уравнение (1) здесь не имеет смысла. Гладкое многообразие по-прежнему имеет смысл, но компоненты метрики — нет. Мы можем решить эту проблему одним из двух способов:

• Брать$r$быть сколь угодно близким к этому значению. Этого достаточно, чтобы увидеть, какова топология$A(r)=0$многообразие будет. Уравнение (1) говорит о том, что$dt^2$исчезает на горизонте, что соответствует тому, что горизонт является нулевой гиперповерхностью: смещения в$t$-направления светоподобны (имеют нулевую длину).

• Более того, мы можем использовать другую систему координат, чтобы метрика 4d была четко определена на горизонте. В координатах Керра-Шильда метрика Шварцшильда имеет вид

  $$ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3}$$ где$V(r)$четко определена везде, кроме$r=0$. Горизонт соответствует$V(r)=1$, где$dt^2$термин исчезает. Параметр$r$равный этому специальному значению, дает индуцированную метрику $$ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4}$$ Это стандартный показатель$S^2$, но топология на самом деле$S^2\times\mathbb{R}$, где$\mathbb{R}$фактор объясняет$t$-координата. Здесь нет$dt^2$член в (4), поскольку горизонт является нулевой гиперповерхностью: смещения в$t$-направления имеют нулевую длину. Это тот же вывод, к которому мы приходили раньше, но теперь мы пришли к нему более непосредственно, потому что метрика (3) четко определена на горизонте.

Не думаю, что было бы правильно описывать пространство-время вблизи черной дыры как «сферическое». Во-первых, кривизна пространства меняется в зависимости от того, насколько близко вы находитесь к черной дыре. Для сферы кривизна постоянна и не зависит от местоположения. Кроме того, вам нужно более одного действительного числа, чтобы указать кривизну пространства-времени с измерениями выше 2. (Это потому, что у вас может быть пространство, в котором углы треугольника, ориентированного в одном направлении, составляют менее 180 градусов. , но углы треугольника, ориентированного в другом направлении, в сумме составляют более 180 градусов.) Кроме того, гравитационное поле черной дыры в значительной степени зависит от того факта, что пространство-время искривлено, а не только от пространственной кривизны.

Вы, вероятно, все еще могли бы классифицировать кривизну пространства-времени на основе знаков различных компонентов тензора кривизны, но классификация была бы более сложной, чем сферическая, плоская или гиперболическая.