Насколько больше расстояние до горизонта событий?

Я подозреваю, что вы задаете не тот вопрос, который вас действительно интересует, потому что ответ на ваш вопрос действительно скучен. Если вы прыгнете в черную дыру, вы увидите, как горизонт событий отступает перед вами, и вы никогда не пересечете его. Пройденное вами расстояние — неоднозначная величина, поскольку, конечно, в вашей системе отсчета вы стоите на месте и вообще не преодолели никакого расстояния. Время, которое вы берете, чтобы пройти расстояние$r=r_s$то попадание в сингулярность конечно, а для черных дыр звездной массы очень мало.

Гораздо более интересный вопрос: если вы зависнете за горизонтом и опустите рулетку, сколько времени потребуется, чтобы достичь горизонта, т.е. что вы получите, интегрируя$dr$в радиальном направлении к горизонту событий? Метрика Шварцшильда:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)} + r^2 d\Omega^2$$

Предположим, мы парим на расстоянии$r_1$от сингулярности и опустите рулетку, чтобы измерить расстояние до некоторой точки на радиальном расстоянии$r_2$. Потому что$dt$и$d\Omega$являются постоянными, уравнение для линейного элемента упрощается до:

$$ds = \frac{dr}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}}$$

Чтобы получить длину ленты, нам просто нужно проинтегрировать это выражение из$r_1$к$r_2$:

$$\begin{align} s &= \int_{r_2}^{r_1} \frac{dr}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}} \\ &= \int_{r_2}^{r_1} \frac{r^{1/2}dr}{\left(r-r_s\right)^{1/2}} \end{align}$$

Чтобы интегрировать это, мы обманываем и ищем ответ в книге GR , в результате получается:

$$s = \left[ z \sqrt{z ^2 - r_s} + r_s \ln \left( z + \sqrt{z ^2 - r_s} \right) \right]_{z_2}^{z_1}$$

где мы использовали замену$r = z^2$сделать интеграл управляемым.

Чтобы сделать это бетоном, давайте возьмем черную дыру с массой Солнца, так что$r_s$= 2954 м, и мы начнем с 5 км, т.е.$r_1 = 5000$. Построим график зависимости длины ленты от$r_2$:

Пурпурная линия — это ньютоновский результат, т. е. если бы пространство было плоским, а синяя линия — это то, что мы фактически измеряем. Расстояние рулетки от $r = 5 км до горизонта событий составляет около 4780 м по сравнению с ньютоновским расчетом 2046 м.

Таким образом, эффект кривизны заключается в том, что расстояние, измеренное в радиальном направлении, больше, чем$r_1 - r_2$. Однако я должен подчеркнуть, что это не то, что вы бы измерили, если бы я бросил вас в черную дыру. Это расстояние, измеренное наблюдателем, находящимся далеко от горизонта событий.

Интеграл, данный Джоном Ренни, можно улучшить с помощью гамма-фактора, если предположить, что движение наблюдателя находится в$\rm r$направление и большое$\rm R$физическое расстояние, зависящее от наблюдателя:

$${\rm \Delta R= \int_{r_2}^{r_1}}=\frac{\sqrt{g_{\rm r r}}}{\gamma} \ \rm dr$$

но вы должны проверить, какой гамма-фактор использовать для каких координат. Если вы падаете в черную дыру из состояния покоя на бесконечности или с отрицательной космической скоростью

$$\rm v=-v_{esc}=-c \sqrt{r_s/r}$$

в классических координатах Шварцшильда/Дросте имеем

$$\sqrt{g_{\rm r r}} = \frac{1}{\sqrt{1-\rm r_s/r}}$$

и гамма-фактор для падающего наблюдателя также равен

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\rm v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\rm r_s/r}}$$

так что радиальное расширение и сокращение длины компенсируются в его системе отсчета:

$$\frac{\sqrt{g_{\rm r r}}}{\gamma} = 1$$

вот почему в координатах Гульстранд/Пенлеве, где$\rm -v_{esc}$впитывается в$g_{\rm t r}$и местная скорость$\rm v$не относительно стационарных, а свободно падающих эталонных наблюдателей (так называемых капель дождя), и$\rm v=0$в этих координатах равно$\rm v=-v_{esc}$в других координатах вы получаете

$$\sqrt{\bar g_{\rm r r}} = 1$$

а пространственные компоненты ковариантной метрики евклидовы, поэтому

Гамильтон и Лайл писали: «В речной модели само пространство течет, как река, через плоский фон».

а расстояние просто$\rm r_2-r_1$. Если вы не падаете с космической скоростью, локальный фактор не отменяется.$1$и расстояние отличается от$\rm r_2-r_1$. Если вы медленнее, чем скорость убегания, она больше, а если вы быстрее, она меньше.

За горизонтом все наоборот, если взять$\rm v$(относительно самой черной дыры) в качестве меры вашей скорости, но обратите внимание, что$\rm v$и$\rm dr/d\tau$вообще разные вещи. Чем ближе к$\rm c$твой$\rm v$(сверху или снизу), тем сильнее сокращение. Внутри черной дыры, где вы должны иметь$\rm v>c$, меньший$\rm v$(но все же больше, чем$\rm c$) равно больше$\rm dr/d\tau$чем$\rm v$намного больше, чем$\rm c$и$\rm dr/d\tau \to \infty$равно$\rm v \to c$снаружи и внутри горизонта.

В специальной теории относительности (где скорость убегания всегда$0$поскольку гравитации нет) расстояние для движущегося наблюдателя также будет короче, чем$\rm r_2-r_1$, поскольку, когда вы начинаете двигаться к своей цели, расстояние уменьшается на гамма-фактор вашей скорости.