Кривизна пространства-времени в космологических моделях Фридмана

Модели FLRW имеют ненулевую кривизну пространства-времени, потому что именно так общая теория относительности описывает гравитацию, и в них гравитация присутствует. (Исключением является пустая вселенная Милна.)

Модели FLRW могут иметь либо нулевую, либо ненулевую пространственную кривизну.

Вы не можете описать кривизну пространства-времени одним числом; вам нужны полные 20 компонентов тензора Римана для полного описания. То же самое верно и для трехмерного пространства (хотя вам нужно меньше чисел), просто предположение об однородности и изотропии позволяет нам обойтись без использования одного числа.

тензор Римана

Однако благодаря простоте пространства-времени FRLW мы можем описать тензор Римана всего двумя уравнениями. Если я все сделал правильно, то в ортонормированном базисе они

$$R_{0i0j} = -(\dot{H} + H^2)\delta_{ij} \quad\text{and}\quad R_{ijkl} = \left(H^2 + \frac{k}{a^2}\right) (\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta{jk}),$$

с латинскими индексами, принимающими значения в$\{1,2,3\}$а все остальные компоненты (с нечетным числом нулевых индексов) равны нулю. Исходя из этого, вы можете вычислить скаляры Риччи и Кречмана,

$$R = R^{\mu\nu}{}_{\mu\nu} \quad\text{and}\quad K = R^{\mu\nu\alpha\beta}R_{\mu\nu\alpha\beta},$$

которые являются своего рода следом и квадратом тензора Римана, чтобы понять, что происходит. Опять же, если я не сделал ошибок, они

$$R = 6\left( \dot{H} + 2H^2 + \frac{k}{a^2} \right) \quad\text{and}\quad K = 12 \left[\left(\dot{H} + H^2\right) + 8 \left(H^2 + \frac{k}{a^2}\right)\right].$$

Уравнения Фридмана

Чтобы связать их с содержанием материи во Вселенной, мы используем уравнения Фридмана.

$$H^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi}{3} \rho$$

$$\dot{H} + H^2 = -\frac{4\pi}{3} (\rho + 3p).$$

Используя их, вы можете видеть, что компоненты тензора Римана — это просто стороны уравнений, а скаляры оказываются равными

$$R = 8\pi(\rho-3p) = 8\pi (1-3w)\rho$$

$$K = \frac{64\pi^2}{3} \left[(\rho+3p)^2 + 32\rho^2\right] = \frac{64\pi^2}{3} \left[(1+3w)^2 + 32\right] \rho^2,$$

куда я также включил стандартное космологическое уравнение состояния$p = w \rho$для одной жидкости.

Анализ

Итак, что мы можем получить от этого? Вы можете видеть, что если во Вселенной вообще есть какая-то энергия ($\rho \neq 0$), тензор Римана отличен от нуля. Это означает, что пространство-время плоское (нулевой тензор Римана) тогда и только тогда, когда оно пусто: модель Милна — это всего лишь часть пространства-времени Минковского, и оно (пространственно-время) плоское, даже если не выглядит таковым.

Для трех наиболее распространенных жидкостей, рассматриваемых в космологии, мы имеем$w = 0$(темная материя),$w = 1/3$(излучение) или$w = -1$(темная энергия). Вы можете видеть, что во всех случаях скаляры положительны, за исключением$w = 1/3$когда скаляр Риччи равен нулю. Но и на знак последнего тоже не стоит обращать слишком много внимания, потому что он зависит от подписи метрики; если бы я использовал$(+\ -\ -\ -)$знаки,$R$вышел бы с обратным знаком.

Цитата из журнала Quanta

Итак, если мы обнаружили, что$\text{empty} \iff \text{flat}$, почему в цитате утверждается, что при низких плотностях Вселенная имеет отрицательную кривизну? Это потому, что мы наблюдаем, что Вселенная расширяется, и поэтому мы вынуждены использовать ненулевое$H$в уравнениях, и это, так сказать, «сдвигает ноль» кривизны. Пустая Вселенная на самом деле не расширялась бы и была бы плоской, но это противоречит наблюдениям.