Вик-порядок и радиальный порядок в CFT

Здесь мы наметим стратегию доказательства тождества искомого оператора$(4)$из следующих определений того, что такое коммутатор и нормальный порядок операторов двух мод$\alpha_m$и$\alpha_n$иметь в виду:

$$[\alpha_m, \alpha_n]~=~ \hbar m~\delta_{m+n}^0, \tag{1}$$ $$\begin{align} :\alpha_m \alpha_n:~=~&\Theta(n-m) \alpha_m \alpha_n \cr~+~& \Theta(m-n) \alpha_n \alpha_m,\end{align}\tag{2}$$

где$\Theta$обозначим ступенчатую функцию Хевисайда .

1. Обратите внимание, что текущий$j(z)~=~j_{-}(z) + j_{+}(z)$является суммой части создания$j_{-}(z)$и часть уничтожения$j_{+}(z)$.

2. Напомним, что радиальный порядок${\cal R}$определяется как

   $$\begin{align}{\cal R}(j(z)j(w)) ~=~&\Theta(|z|-|w|) j(z)j(w)\cr ~+~& \Theta(|w|-|z|)j(w)j(z).\end{align}\tag{3}$$

3. Перепишите идентификатор искомого оператора как

   $$\begin{align}\cal{R}(j(z)j(w))~-~&:j(z)j(w):\cr ~=~&\frac{\hbar}{(z-w)^2}.\end{align}\tag{4}$$

4. Обратите внимание, что каждый из трех членов в уравнении.$(4)$инвариантны относительно$z\leftrightarrow w$симметрия. Таким образом, мы можем считать с этого момента, что$|z|<|w|$.

5. Покажи то

   $$\begin{align}j(w)j(z)~-~&:j(z)j(w):\cr ~=~&[j_{+}(w),j_{-}(z)].\end{align}\tag{5}$$

6. Показать (в предположении$|z|<|w|$) что

   $$\begin{align}j(w)j(z)~-~~&R(j(z)j(w))\cr ~\stackrel{|z|<|w|}{=}&0.\end{align}\tag{6}$$

7. Вычтите экв. (6) из уравнения (5):

$$\begin{align}\cal{R}(j(z)j(w))~-~~&:j(z)j(w):\cr ~\stackrel{|z|<|w|}{=}&[j_{+}(w),j_{-}(z)].\end{align} \tag{7}$$

8. Оцените правую сторону. экв. (7):

$$\begin{align} [j_{+}(w),j_{-}(z)]~=~&\ldots\cr ~=~&\frac{\hbar}{w^2} \sum_{n=1}^{\infty}n \left(\frac{z}{w}\right)^{n-1}\cr ~=~&\ldots ~=~ \frac{\hbar}{(z-w)^2}.\end{align} \tag{8}$$ На последнем шаге мы будем использовать сходимость суммы в предположении$|z|<|w|$.$\Box$