Квантование электростатического поля E⃗ E→\vec E?

При стандартном квантовании свободного электромагнитного поля полевые операторы удовлетворяют (равновременным) коммутационным соотношениям

$$[E_i(\mathbf{x}, t), B_j(\mathbf{y}, t)] = -i \hbar \epsilon_{ijk} \partial_k \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$ .

См., например, следующую статью Стюарта.

Отсюда следует существование соотношения неопределенностей:

$$\Delta E_f \Delta B_g \le \frac{\hbar}{2} \int d^3x \epsilon_{ijk} f^i \partial_k g^j$$

где$E_f$,$B_g$— размытые поля векторными функциями$f^i$,$g^j$соответственно ($E_f = \int d^3x f^i((\mathbf{x}) E_i(\mathbf{x})$). Можно считать, что эти функции финитны, чтобы обеспечить сходимость интеграла.

Это означает, что почти для всех вариантов функций$f^i$,$g^j$, существует неизменное соотношение неопределенностей между компонентами электрического и магнитного полей. Таким образом, исчезающее магнитное поле означало бы бесконечные флуктуации электрического поля.

Как следствие, электростатика с исчезающими магнитными полями подразумевала бы бесконечную неопределенность электрического поля. Следовательно, электростатика не может быть квантована.

Итак, позвольте мне попытаться немного перефразировать ваш вопрос. Под «электростатическим» случаем, например, в физике плазмы понимается случай, когда$|v| \ll c$, так что связь с векторным потенциалом$\vec{A}$пренебрежимо мал, и мы можем рассмотреть чистую ситуацию скалярного потенциала$\phi$. Мы можем ПОЛНОСТЬЮ записать лагранжеву квантовую плотность для этого как

$$\begin{equation} \mathcal{L} = \underbrace{i \psi^* \partial_t \psi + \frac{1}{2m}(\nabla \psi^*)\cdot (\nabla \psi)}_{\textrm{Schrodinger equation}} + \underbrace{e \psi^* \psi \phi}_{\textrm{coupling}} + \underbrace{\frac{1}{8 \pi}(\nabla \phi)\cdot (\nabla \phi)}_{\textrm{Maxwell stress tensor}} \end{equation}$$ Я печатаю это по памяти, поэтому я не уверен, что у меня есть все знаки и константы, но вы можете видеть, что у вас определенно может быть квантовое безмассовое реальное скалярное поле. $\phi$который действует как скалярный потенциал в классической механике, но находится в квантовом действии и, следовательно, может быть канонически квантован.