Квантовая механика на многообразии

Насколько я понимаю, есть два основных способа изучения квантовой механики на многообразии с некоторой кривизной. Классически говоря, эти два пути ведут к одной и той же физике, но в квантово-механическом подходе они различны.

Первый подход состоит в том, чтобы представить себе частицу, движущуюся «свободно» в трехмерном пространстве, но подверженную действию внешних сил, ограничивающих частицу некоторым подмногообразием. Частица в некотором смысле живет в ограничивающем потенциале, который определяет многообразие. Фазовое пространство частицы изначально представляет собой обычное фазовое пространство, связанное с трехмерным пространством. Однако внешний потенциал ограничивает частицу некоторым подпространством этого фазового пространства.

Второй подход заключается в работе с обобщенными координатами, как это делается в лагранжевой механике. Тогда координаты частицы являются параметризацией подмногообразия. Здесь важно то, что нет привязки к координатам трехмерного пространства. Примером может служить маятник, который можно описать исключительно с точки зрения угла, который маятник образует с осью z.

Классически между этими двумя подходами нет различий. Это уже не так, когда вы переходите к квантовой механике. Если вы последуете первому подходу, используя некоторый удерживающий потенциал, чтобы удержать частицу на многообразии, вы столкнетесь с принципом неопределенности, который запрещает точную локализацию частицы на многообразии. Из-за этого принципа частица никогда не будет полностью экранирована от большего размерного пространства. Однако вы все равно можете систематически настроить процедуру квантования. Преимущество этого подхода в том, что квантование работает обычным образом (в конце концов, вы работаете с декартовыми координатами). Решение состоит в том, чтобы по существу разделить волновую функцию и уравнение Шредингера (УШ) на вклады из-за ограничивающего потенциала и своего рода эффективного УЭ для оставшейся части волновой функции.Средняя кривизна и кривизна Гаусса соответствующего многообразия.

Это очень важная особенность: цилиндр, например, не имеет гауссовой кривизны, а имеет только среднюю кривизну. Во втором подходе вы обнаружите, что нет различия между двумя цилиндрами с разной средней кривизной, потому что в этом подходе всплывает только кривизна Гаусса. Возьмем, к примеру, частицу, живущую на одномерной линии. Для описания этой линии требуется только одна координата, поэтому для второго подхода все системы эквивалентны. Но в первом подходе вы должны указать, каким образом линия встраивается в пространство более высокого измерения и как частица ограничивается пространством более низкого измерения.

Второй подход может показаться более естественным, если вы мыслите как математик. В этом подходе вам нужен способ квантования обобщенных координат, который намного тоньше, чем обычное квантование. Проблема, которая преследует этот подход, — это так называемая проблема упорядочения. По сути, вы хотите заменить метку импульса оператором вывода$p \rightarrow -i\hbar\nabla$. Кроме того, есть также выбор параметризации многообразия, который, конечно же, не должен влиять на основную физику (аналогично общей теории относительности). Проблема упорядочения утверждает, что вы априори не знаете, каким образом классические (коммутирующие) переменные должны быть упорядочены, прежде чем вы замените их их квантово-механическими (некоммутирующими) аналогами. Что еще хуже, из-за кривизны пространства производный оператор также содержит некоторую неоднозначность. Существует неоднозначность в выборе вашего оператора импульса и вашего гамильтониана (и любых других функций). Многие квантово-механические гамильтонианы имеют один и тот же классический предел, и принцип эквивалентности (т.е. связывающий квантовую механику с классической физикой) не диктует, какой из них лучше. Например, кинетический оператор$\nabla^2$можно определить с помощью канонического лапласиана или оператора Лапласа-Бельтрами. Тем не менее, есть некоторая работа, которая мотивирует обобщенный принцип эквивалентности (см., например, Kleinert) и приводит к последовательной процедуре квантования.

Оба подхода имеют интересные особенности, но первый на самом деле немного более физический. Причина в том, что в конденсированных средах вы имеете дело с ограничивающими потенциалами, обусловленными некоторой ионной решеткой. Возьмем, к примеру, графен, представляющий собой двумерную поверхность. Как оказалось, эта поверхность не совсем плоская, но всегда будет образовывать рябь. Эти деформации поверхности можно интерпретировать так, как если бы электроны (или фермионы Дирака, если вы хотите использовать эффективную теорию) живут на искривленном многообразии, встроенном в трехмерную поверхность. Это приводит к забавным приложениям, таким как существование червоточин в графене. Но, в конце концов, кривизна имеет очень физическое проявление в электронных свойствах системы.

= Первый из этих подходов, в котором используется ограничивающий потенциал, обсуждается в следующих статьях Косты:

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.23.1982

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.25.2893 (случай многих частиц)

Второй подход рассматривается в обзорной статье Б. С. Де Витта: http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.29.377 .

См. также книгу Кляйнерта, в которой есть целая глава, посвященная использованию подхода интеграла по пути: http://www.amazon.com/Integrals-Quantum-Mechanics-Statistics-Financial/dp/9814273562 .

Графеновые червоточины: http://arxiv.org/abs/0909.3057

Вот обзор методов квантования: http://arxiv.org/abs/math-ph/0405065 .

Большая часть этой статьи посвящена КМ на многообразиях.

Когда вы изучаете угловой момент в КМ, это случай частицы на сфере. Волновые функции представляют собой сферические гармоники, гамильтониан$L^2$и т. д. Я могу вспомнить много других примеров, где система конфигурации некоторой системы QM была бы искривленной (например, какое-то групповое многообразие или смежное пространство), поэтому я не думаю, что есть какие-то физические причины не смотреть на такие примеры.

Для более сложного набора примеров существует множество исследований суперсимметричной квантовой механики на различных многообразиях, начиная с этой статьи Эда Виттена « Суперсимметрия и теория Морса ». С тех пор связь между SUSY QM и QFT на многообразии и топологией (или иногда даже геометрией) лежащего в основе многообразия стала чем-то вроде индустрии.

Можно рассмотреть еще одно обобщение$L^2(\mathbb R^3)$модель, заметив, что$\mathbb R^3$это просто конфигурационное пространство,$Q$, одной частицы. Существует область, называемая геометрическим квантованием, в которой базовое многообразие расширяется от конфигурационного пространства до полного симплектического многообразия.$(M,\omega)$.

Идея состоит в том, что вся гамильтонова геометрия может быть закодирована в симплектической 2-форме$\omega$. Таким образом, можно говорить о скобках Пуассона {f,g}, классических наблюдаемых и т.д. Симплектическое многообразие — естественное геометрическое пространство для изучения классической механики любой системы. Симплектические многообразия могут иметь вид$M=T^*Q$- как кокасательное расслоение (и, таким образом, для одной частицы диффеоморфно$\mathbb R^6$). Однако они могут возникать и в других случаях, например, путем редукции ограничений или независимо как решения уравнений поля. В конечномерных случаях симплектические многообразия 2N-мерны.

Затем поверх этого строится гильбертово пространство. Эта процедура включает в себя введение сложного линейного пучка (локально$U \times \mathbb C$) B над пространством M. Существуют некоторые топологические условия, необходимые для обеспечения существования сечений этого расслоения (которые связаны со старыми условиями квантования Бора). Когда сечения существуют, можно ввести оператор спаривания и построить гильбертово пространство.

Условие того, что волновая функция$\Psi$Быть в представлении (скажем, в представлении положения) кодируется введением того, что известно как поляризация на M. Это слоение M при определенных условиях. Сечения должны быть постоянными вдоль этих слоений. Этот геометрический процесс приводит к построению знакомых выражений положения и импульса для волновой функции и в некотором смысле перестраивает конфигурационное пространство, если это необходимо.

Однако часто можно ввести сложную структуру$J$такой, что$J^2=-1$на M, который при совместимости с симплектической формой$\omega$приводит к некоторым дополнительным свойствам. Во-первых, это вводит метрику на M, а во-вторых, мы имеем$(M,\omega)$стать келеровым многообразием.

Итак, теперь «фазовое пространство» классической системы представляет собой кэлерово многообразие. Кроме того, упомянутые выше условия поляризации приводят к$\Psi(z)$- голоморфная функция от z. Как конкретный пример

$z = x + ip$

будет голоморфной координатой в 2 (действительном) D. Это сложное голоморфное представление для элементарных примеров было введено Бергманом в 1940-х годах, но в контексте геометрического квантования это самый простой из примеров Кэлера. В этих примерах Кэлера когерентные состояния играют фундаментальную роль.

С точки зрения нетривиальных многообразий еще один интересный класс примеров из геометрического квантования - это примеры симметрии (группы Ли). Здесь классическое многообразие строится из самого группового многообразия (путем рассмотрения коприсоединенных орбит). Как конкретный пример$SU(2)$имеет как классическое многообразие$S^2$. То есть сфера радиуса s является классическим фазовым пространством для вращательных степеней свободы элементарной частицы со спином s.

Все это может стать единой основой для изучения процесса квантования и следствий нетривиальных классических топологий (Бома-Ахаранхова, фазы Берри и т.д.).

Один текст — это геометрическое квантование .

Вы можете взглянуть на квантование деформации.

См., например:

Байен, Ф.; Флато, М .; Фронсдал, К.; Лихнерович, А. ; Штернхеймер, Д.: Квантовая механика как деформация классической механики. В: Летт. Мат. физ. 1 (1977), с. 521–530.

Байен, Ф.; Флато, М. ; Фронсдал, К. ; Лихнерович, А. ; Штернхеймер, Д.: Теория деформации и квантование. В: Энн. физ. 111 (1978), с. 61–151.

для оригинальных документов.

См., например , http://omnibus.uni-freiburg.de/~sw12/Download/intro.pdf для краткого элементарного введения. http://iopscience.iop.org/1742-6596/103/1/012002 также может быть интересен в качестве введения.

Квантово-механическое движение частицы на искривленном многообразии.$X$называется примером «нелинейной сигма-модели». См. на nLab в сигма-модели для дальнейшего обсуждения. Это очень фундаментальное понятие квантовой физики. Поскольку пространство-время, в котором мы живем, в общем случае искривлено, любая квантовая частица, распространяющаяся в этом пространстве-времени, задается нелинейной сигма-моделью.

Это имеет интересное отношение к глубоким вопросам геометрии: а именно, можно спросить, в какой степени можно восстановить искривленную геометрию некоторого многообразия из физики квантовой частицы, которая распространяется по нему, следовательно, из ее пространства состояний и из энергии уровни — отсюда и спектр — его гамильтониана. Этот вопрос «спектральной геометрии» был успешно решен Аленом Конном с помощью понятия « спектральной тройки ». Например, тройка, с точки зрения физики, не что иное, как

1. гильбертово пространство состояний

2. гамильтониан для квантовой частицы (точнее, оператор Дирака для вращающейся частицы);

3. алгебра пространственных наблюдаемых, плотно вложенная в гильбертово пространство.

Фундаментальная теорема спектральных троек — а значит, и квантовой механики искривленных многообразий — состоит в том, что по этим данным можно восстановить риманову геометрию «целевого многообразия». В свою очередь, фундаментальное значение этого наблюдения заключается в том, что существуют также «спектральные тройки» и, следовательно, квантово-механические частицы, как указано выше, которые не происходят из гладких искривленных целевых многообразий. Таким образом, хотя они не даются обычной геометрией, их все же можно понимать как описание движения квантовых частиц в обобщенных пространствах, а именно в пространствах некоммутативной геометрии . С этой точки зрения «некоммутативная геометрия» — это то, что «видит» квантовая частица, поскольку она «прощупывает» свое целевое пространство. См. на nLab в разделе Спектральная геометрия и гравитация .

Этот взгляд на нелинейные сигма-модели имеет решающее значение для понимания современных разработок, таких как теория струн. Потому что затем мы можем спросить, что означает распространение струны по искривленному многообразию. Можно обнаружить, что теперь данные представляют собой своего рода аналог более высокого измерения предыдущих данных, который можно было бы назвать 2-спектральной тройкой , обычно моделируемой такими структурами, как алгебры вершинных операторов. Итак, теперь для квантовой струны можно задать тот же вопрос обратного проектирования, что и для квантовой частицы: учитывая некоторую квантовую механику струны с таким-то энергетическим спектром и такими-то алгебрами наблюдаемых, можем ли мы реконструировать искривленное пространство-время что строка должна распространяться?

Ведь можно — именно до знаменитых «струнных дуальностей». Вот как теория струн соединяется с феноменологией, выводя из квантовой механики струны эффективную фоновую структуру, через которую она должна распространяться.

По какой-то причине близкое сходство между конновским спектральным («некоммутативным») геометрическим описанием квантовых частиц в искривленном пространстве-времени и пертурвативной теорией струн широко не афишируется. Это стало особенно поразительно, когда в 2006 г. Коннес и Баррет заметили, что единственный способ получить правильную киральную фермионную структуру в «спектральной стандартной модели», построенной таким образом, — это рассмотреть некоммутативную КК-компактификацию , в которой расслоенное пространство имеет К-теоретическую размерность равна 6 (см. закомментированные ссылки здесь ). Это, конечно, тот же ответ, что и в теории струн, хотя и полученный здесь из других предположений.

В любом случае, описание искривленной геометрии в терминах квантовой механики распространяющихся на ней частиц (и струн, и бран и т. д.) — глубокая тема в математике и физике.

Но поскольку вопрос, по-видимому, действительно заключается в том, на каких пространствах волновые функции являются секциями некоторого расслоения, следует смотреть немного дальше: в общем случае волновая функция — это поляризованная секция предквантового линейного расслоения над редуцированным ковариантным фазовым пространством . Теперь фазовые пространства в квантовой механике и в квантовой теории поля в основном всегда выступают как кокасательные расслоения$T^\ast X$конфигурационного пространства. Но важно помнить, что вообще в системе есть (калибровочные) симметрии и что фактическое фазовое пространство есть фактор этого кокасательного расслоения по этим симметриям. Это вообще приводит к геометрически и топически нетривиальным фазовым пространствам.

В частности, фазовое пространство «внутренних» степеней свободы квантовых частиц в общем случае искривлено и компактно . Самый простой пример - фазовое пространство для «роторов» и «спиноров», следовательно, для спиновой степени свободы фермионов. Это 2-сфера (с ее круглой изогнутой метрикой). Подробнее об этом см. в геометрическом квантовании 2-сферы .

Или, если частица «неабелева заряжена» (например, если это кварк), то внутренние степени свободы задаются фазовым пространством, которое является коприсоединенной орбитой данной калибровочной группы Ли. Подробности о таких компактных искривленных фазовых пространствах есть в методе nLab at orbit .

В заключение, искривленные целевые пространства и фазовые пространства являются скорее правилом, чем исключением, и их квантование связано с важными и глубокими проблемами не только физики, но и геометрии и математики в целом.

Предположим, вы хотите поговорить о «квантово-механической версии» вращающегося твердого тела, которое «никуда не денется» (классически центр масс неподвижен). Тогда мы, вероятно, рассмотрели бы состояния в L^2(SO(3,R)).

Общее правило состоит в том, что если у вас есть классически описанная система и вы хотите знать, какова ее «квантово-механическая версия», вы позволяете М быть конфигурационным многообразием (то есть тем многообразием, которое описывает «положение» классической системы). и чье кокасательное расслоение является многообразием фазового пространства), и вы берете свои состояния в L^2(M).

Для целей реальной физики это не всегда полезная вещь. В конце концов, классических систем (вероятно) не существует, поэтому не обязательно знать, как перейти от «классического к квантовому». Однако он может сказать кое-что очень интересное о том, как возникает классический предел, и о природе квантовой декогеренции.