Кривизна конического пространства-времени

Представьте себе треугольник на исходной бумаге, и теперь, когда он склеен, не подумает ли наблюдатель, что линии теперь изогнуты?

Ответ — нет: линии, которые были прямыми на исходной бумаге, остаются прямыми даже после того, как она превратилась в конус. Один из способов понять, почему это так, — явно записать все в полярных координатах. Позволять$(r,\phi)$быть полярными координатами точки на бумаге до того, как вы сложите ее в конус. Поместите начало координат в вершину конуса. Отсутствие клина бумаги означает, что только углы от 0 до$2\pi-\alpha$будет существовать на бумаге, где$\alpha$это «угловой дефицит». После того, как вы сложили бумагу конусом,$\phi=0$будет отождествляться с точками с$\phi=2\pi-\alpha$.

На плоской бумаге расстояние между двумя соседними точками равно

Тот факт, что приведенное выше уравнение выполняется как для исходной бумаги, так и для конуса, — это все, что вам нужно знать, чтобы быть уверенным в том, что геометрия конуса плоская и что прямые линии на одном листе совпадают с прямыми на другом. Например, предположим, что у вас есть путь, соединяющий две точки.$(r_1,\phi_1)$и$(r_2,\phi_2)$. Длина этого пути есть не что иное, как интеграл$ds$по тому пути. Этот интеграл будет точно таким же до и после того, как вы сложите бумагу в конус. Следовательно, путь, который был кратчайшим до образования конуса, будет и после этого кратчайшим путем.

В общем, кривизна у вас есть только в том случае, если вам приходится «мять» или «растягивать» бумагу. Когда вы формируете конус, вам не нужно этого делать нигде, кроме вершины.

Если вы хотите пойти дальше и вычислить кривизну, вам понадобится механизм римановой геометрии. Если вы думаете скорее как физик, чем как математик, то я бы рекомендовал изучить это из книги по общей теории относительности. Мне нравится один Шютца и один Хартла для первого знакомства с предметом. Все, что я скажу здесь, это то, что существует совершенно определенный алгоритм перевода «элемента строки», т. е. выражение для$ds^2$с точки зрения координат — в математический объект, называемый тензором кривизны, который в двух измерениях сводится к единственному числу, известному как кривизна.

Вот моя попытка, надеюсь, люди смогут научиться на моих ошибках или что-то в этом роде ( пожалуйста , оставьте комментарии, чтобы я мог узнать больше)

Из предложения я сосредоточусь на пространстве 2+0. Параллельный перенос звучит так, как будто его можно получить из символов Кристоффеля, а, в свою очередь, тензор кривизны Римана можно вычислить из символов Кристоффеля. Поэтому я попытаюсь рассчитать их здесь (в кровавых подробностях, чтобы попытаться почувствовать расчеты).

Возьмите плоский лист бумаги, вырежьте$\alpha$клин из него и соедините края вместе. Это «конусное пространство» для этого обсуждения.

Элемент строки может быть записан как:

$g_{00}=1,g_{11}=r^2k^2$

Символ Кристоффеля (определяется как?):

Единственными ненулевыми компонентами являются:

Кривизна Реймана (определяется как?):

Глядя на компоненты (0,0,?,?)

Глядя на компоненты (0,1,?,?)

Мне не хочется работать с компонентами (1,0,?,?). Поэтому я пропущу двойную проверку и просто доверюсь антисимметрии (0,1,?,?).

Глядя на компоненты (1,1,?,?)

Итак, в этой системе координат все$dimension^4$компоненты тензора Римана равны нулю. Так что это действительно плоское пространство.

Теперь рассмотрим параллельный транспорт. Вектор транспортируется параллельно, если ковариантная производная равна нулю.

Для бесконечно малого шага$dx^b$, новые компоненты$\tilde{\lambda}^a$будет

Таким образом, вместо обычного интеграла, похожего на сумму бесконечно малых частей, нам нужно что-то, что выполняет серию бесконечно малых умножений вдоль пути. По-видимому, это называется интегралом произведения .

Итак, если у нас есть путь$s^b(t),0\le t\le 1$, тогда я думаю

Я хотел бы иметь возможность проверить предыдущий комментарий Любоса о том, что это просто идентификатор для закрытых путей, если он не идет вокруг источника. Я не уверен, как продолжить, хотя.

Основываясь на комментарии Теда о том, что угловой дефицит каким-то образом связан со средним значением замкнутой кривизны, возможно, есть какой-то способ типа Гаусса-Бонне, связывающий интеграл по пути с некоторым интегралом по области, ограниченной путем.

Чтобы явно вычислить кривизну и геодезические уравнения для конического пространства-времени, вам нужна явная метрика.

Метрика$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\phi^{2}$описать коническое пространство-время в области определения координат$(r,\phi)\in (0,\infty)\times [0,2\pi-\alpha)$.

Вы можете заметить, что эта метрика описывает плоское пространство-время в области определения, но не включает «сингулярную» точку.$(0,0)$. Расчеты, которые вы сделали, подтверждают этот факт.

Чтобы расширить координаты, мы можем изменить масштаб угла, чтобы перейти к стандартным полярным координатам.$\phi=k\alpha$где известно, что метрический элемент определяется как:$ds^{2}=dr^{2}+kr^{2}d\alpha^{2}$.

Внесение изменений$x=r\cos(\alpha),y=r\sin(\alpha)$чтобы перейти к декартовым координатам, у нас есть область координат, которые определены во всех$\mathbb{R}^{2}$так что эти координаты включают вершину конуса.

Результирующая метрика определяется как:

$ds^{2}=\frac{1}{2}(1 + k^{2} ) (dx ^{2} + d y ^{2})+\frac{1}{2}(1-k^{2})\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}(dx^{2}-dy^{2})+(1-k^{2})\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dxdy$

У нас есть евклидово пространство, когда$k=1$, но обратите внимание, что для$k\neq1$метрика не непрерывна в$(0,0)$но допускают конечные пределы как$x,y\rightarrow 0$.

Если метрика не непрерывна, то связность и кривизна не являются непрерывными функциями. Если вы хотите точно описать, к какому типу объектов относятся кривизна и соединение, вам потребуется расширить свое понятие вывода, чтобы рассматривать объекты с низкой дифференцируемостью. Это приводит к теории распределений и пространствам Соболева.

Таким образом, в основном следующие шаги с точки зрения расчета - это аппроксимация кривизны некоторой процедурой регуляризации. Это с точки зрения анализа и геометрии.

Однако, если вы рассматриваете теорему Гаусса-Бонне в двух измерениях (обратите внимание, что в метрике, которую вы предлагаете, нечетная размерность делает аргумент бесполезным):

$\frac{1}{2\pi}\int_{S} KdS=\chi(M)-\frac{1}{2\pi}\int_{\partial S} k_{g}dl$

где$K$кривизна Гаусса, содержащаяся внутри${\partial S}$,$k_{g}$- геодезическая кривизна, а$\chi(M)$является эйлеровой характеристикой.

Если мы делаем петлю вокруг вершины, мы знаем, что:$\chi(M)=1$поскольку область гомеоморфна диску, геодезическая кривизна окружности вне конуса такая же, как в евклидовом пространстве, поэтому$k_{g}=\frac{1}{r}$и что$dl=rkd\alpha$.

Получаем тогда:$\frac{1}{2\pi}\int_{S} KdS=1-k$который показывает неисчезающую кривизну внутри$\partial U$. На самом деле это$supp(K)=\{0\}$

Обратите внимание, что аргумент остается, если вы считаете кривые гомологичными окружности.

Вот чисто геометрический способ думать об этом

Эдвард говорит, что можно вырезать клин из плоского пространства-времени и склеить края вместе. На мой взгляд, это похоже на бумажный конус.

Конус плоский именно потому, что его можно создать, свернув плоский лист. Сворачивание сохраняет метрику на внутренней стороне листа (а не на границах, где был вырезан клин). Изменение метрики требует растяжения или топологических изменений. Подкатывание не предполагает растяжения. Поэтому внутренняя геометрия конуса определяется как геометрия плоского листа, за исключением стыка. Поскольку конус имеет вращательную симметрию, это означает, что он плоский везде, кроме вершины. Наконечник сохраняется при вращении вокруг оси, поэтому он не эквивалентен какой-либо другой точке, геометрия которой известна как плоская.

Отсюда немедленно следует, что параллельный перенос на конусе задается параллельным переносом на плоском листе, за исключением стыка, поскольку параллельный перенос определяется в терминах метрики (связность Леви-Чивиты). Транспортировка по шву – это транспортировка по отсутствующему клину плоского листа. Для сохранения непрерывности при транспортировке через отсутствующий клин необходимо выполнить поворот на угол, равный углу отсутствующего клина. Чтобы понять, зачем думать о переносе базисных векторов полярной системы координат через пласт.

Параллельная транспортировка вокруг наконечника требует пересечения шва и, следовательно, применения описанного выше вращения. Это вращение является угловым дефицитом пути. Угол не зависит от пути, так как он определяется недостающим клином. В частности, оно одинаково для сколь угодно малых путей вокруг наконечника. Поэтому вся кривизна сосредоточена в кончике.

Видео: Леонард Сасскинд демонстрирует это на реальном листе бумаги

Насколько я знаю, самый интуитивный способ выразить это — начать с предела отношения длины окружности вокруг сингулярности к ее радиусу, причем радиус стремится к нулю. Это соотношение должно быть$2\pi$для многообразия, а конический дефицит указывает на то, что пространство-время сингулярно в центре круга. Вы можете найти более подробную информацию в статье Ellis, GFR и Schmidt, BG (1977). Сингулярное пространство-время. Общая теория относительности и гравитации, 8(11):915.