Квантовое объяснение третьего закона Ньютона.

Question

Квантовое объяснение третьего закона Ньютона.

Мохаммад Аль-Туркистани

Закон Ньютона гласит, что на каждое действие есть равное и противоположное противодействие. Этот закон объясняет, как ракеты летают в космосе, а также большую часть подъемной силы, создаваемой крыльями самолета.

Существует ли фундаментальное квантовое объяснение третьего закона движения?

Ответы (3)

Квантовое объяснение третьего закона Ньютона.

Джолд · Answer 1

Третий закон Ньютона гласит, что если объект А действует на объект В с силой $\mathbf{F}_{AB}$ , то объект B должен воздействовать на объект A с силой:

Ф_{Б А} знак равно - Ф_{А Б}

$\mathbf{F}_{BA}=-\mathbf{F}_{AB}$

Выраженное через импульс A и B, то же самое уравнение можно записать как:

\frac{г п_{А}}{г т} знак равно - \frac{г п_{Б}}{г т}

$\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}_A}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}_B}{\mathrm{d} t}$

Перестановка:

\frac{г}{г т} [п_{А} + п_{Б}] знак равно 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [ \mathbf{p}_A + \mathbf{p}_B \right ] = 0$

Или:

п_{А} + п_{Б} знак равно с о н с т а н т

$\mathbf{p}_A + \mathbf{p}_B = constant$

Это говорит о том, что А и В должны действовать друг на друга так, чтобы сумма их импульсов была постоянной во времени. Итак, третий закон Ньютона — это всего лишь выражение закона сохранения импульса. Само сохранение импульса можно рассматривать как следствие пространственной трансляционной симметрии, как показано в теореме Нётер. Эта симметрия остается в квантовой механике, поэтому закон сохранения импульса все еще применяется в КМ.

кд88 · Answer 2

Принципиально Ньютон 3 $^{\text{rd}}$ закон - это утверждение о сохранении четырех импульсов, которое может подразумеваться через фундаментальные симметрии в природе по теореме Нётер . Здесь нет никаких квантово-механических эффектов, поскольку симметрия пространства/времени (связанная с сохранением четырех импульсов) предполагается в расчетах на квантовом уровне.

Кошка · Answer 3

Покровительственный комментарий

Каждый классический закон имеет квантово-механическое происхождение — в принципе. Таким образом, всегда немного лучше думать о том, каково квантово-механическое происхождение определенного классического закона, чем думать, есть ли квантово-механическое происхождение или нет. Конечно, нет необходимости, чтобы явное объяснение такого рода было нам всегда известно.

Как указывалось во многих ответах, именно теоремы Нётер гарантируют сохранение импульса и, как прямое следствие, (пока степени свободы, которые могут нести импульс, являются только степенями свободы частиц) третий закон следует Ньютон. Это было прекрасно продемонстрировано в первой половине ответа @Jold.

Но причина, по которой я пишу этот ответ, заключается в том, что до сих пор это была полностью классическая история. Не очень приятно говорить, что теоремы Нётер остаются в силе и в квантовой механике, и, таким образом, третий закон Ньютона восходит к его квантовым истокам. Я не говорю, что это неправильно, но я просто говорю, что все это звучит слишком волнообразно, если кто-то ищет подробности - ОП явно не запрашивал подробности, но я все равно хотел бы предоставить некоторые подробности ради полноты в той мере, в какой я компетентен.

Таким образом, я планирую немного подробнее показать, как сохранение классического импульса возникает в результате применения аргументов симметрии в квантовой механике. Как только это будет сделано, остальная часть игры будет простой, как описано выше и в ответе @Jold.

Во-первых, мы показываем, что оператор импульса является генератором пространственных трансляций в квантовой механике. Во-вторых, мы (почти тривиально) показываем, что коммутатор оператора импульса обращается в нуль, если система (т.е. гамильтониан) сохраняет трансляционную инвариантность. Наконец, используя теорему Эренфеста, мы показываем, что среднее значение оператора импульса, таким образом, постоянно во времени, а это означает, что классический импульс сохраняется.

Оператор импульса — генератор пространственного переноса в квантовой механике

Допустим, есть класс операторов $T_\epsilon$ (где бесконечно малый действительный параметр $\epsilon$ параметризует класс), указанный (полностью и непротиворечиво) через его действие на полный ортонормированный собственный базис положения следующим образом

Т_{ϵ} | Икс ⟩ знак равно | Икс + ϵ ⟩

$T_\epsilon|x\rangle=|x+\epsilon\rangle$ Таким образом, такой оператор

T_{ϵ}

$T_\epsilon$ определяется как оператор перевода, который переводит собственный набор позиций на

ϵ

$\epsilon$ .

В сторону

Что действие оператора $T_\epsilon$ на общее физическое состояние $|\psi\rangle$ физически соответствует классическому переносу соответствующей классической частицы на $\epsilon$ можно проверить, доказав, что
$⟨ ψ | Т_{ϵ}^{†} Икс Т_{ϵ} | ψ ⟩ знак равно ⟨ ψ | Икс | ψ ⟩ + ϵ$ $\langle\psi|T_\epsilon^\dagger X T_\epsilon|\psi\rangle=\langle\psi|X|\psi\rangle+\epsilon$ и $⟨ ψ | Т_{ϵ}^{†} п Т_{ϵ} | ψ ⟩ знак равно ⟨ ψ | п | ψ ⟩$ $\langle \psi|T_\epsilon^\dagger P T_\epsilon|\psi\rangle=\langle\psi|P|\psi\rangle$ куда $X$ и $P$ — операторы положения и импульса соответственно.

Теперь, чтобы явно построить оператор $T_\epsilon$ , мы расширяем его в $\epsilon$ к первому порядку как

Т_{ϵ} знак равно я - \frac{я ϵ}{ℏ} грамм

$T_\epsilon=I-\dfrac{\iota\epsilon}\hbar G$ куда

G

$G$ является оператором, определяемым приведенным выше уравнением. Его называют генератором перевода. Теперь видно, что

⟨ Икс | Т_{ϵ} | ψ ⟩ знак равно ψ (Икс + ϵ)

$\langle x|T_\epsilon|\psi\rangle=\psi(x+\epsilon)$ Таким образом, теперь мы можем разложить обе стороны до первого порядка в

ϵ

$\epsilon$ получить

⟨ Икс | я | ψ ⟩ - \frac{я ϵ}{ℏ} ⟨ Икс | грамм | ψ ⟩ знак равно ψ (Икс) + ϵ \frac{\partial}{\partial Икс} ψ (Икс)

$\langle x|I|\psi\rangle-\dfrac{\iota\epsilon}{\hbar}\langle x |G|\psi\rangle=\psi(x)+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x)$ Или,

⟨ Икс | грамм | ψ ⟩ знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс} ψ (Икс)

$\langle x |G|\psi\rangle=\dfrac{\hbar}{\iota}\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x)$ Таким образом, делаем вывод, что генератор

G

$G$ пространственного переноса есть оператор импульса

P

$P$ . Таким образом,

Т_{ϵ} знак равно я - \frac{я ϵ}{ℏ} п

$T_\epsilon=I-\dfrac{\iota \epsilon}{\hbar}P$ Оператор импульса коммутирует с гамильтонианом при условии трансляционной симметрии

Трансляционная симметрия системы представляется в виде условия

⟨ ψ | Т_{ϵ}^{†} ЧАС Т_{ϵ} | ψ ⟩ знак равно ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩

$\langle\psi|T_\epsilon^\dagger H T_\epsilon|\psi\rangle=\langle\psi|H|\psi\rangle$ Поэтому мы требуем

⟨ ψ | (1 + \frac{я ϵ}{ℏ} п) ЧАС (1 - \frac{я ϵ}{ℏ} п) | ψ ⟩ знак равно ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩

$\bigg\langle\psi\bigg|\bigg(1+\dfrac{\iota \epsilon}{\hbar}P\bigg) H \bigg(1-\dfrac{\iota \epsilon}{\hbar}P\bigg)\bigg|\psi\bigg\rangle=\langle\psi|H|\psi\rangle$ Или, что то же самое,

⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ + \frac{я ϵ}{ℏ} ⟨ ψ | [п, ЧАС] | ψ ⟩ + О (ϵ^{2}) знак равно ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle+\dfrac{\iota\epsilon}{\hbar}\langle\psi |[P,H]|\psi\rangle+\mathcal{O}(\epsilon^2)=\langle\psi|H|\psi\rangle$ Таким образом, мы требуем

⟨ ψ | [п, ЧАС] | ψ ⟩ знак равно 0

$\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ Теперь видно, что таким образом

[P, H] = 0

$[P,H]=0$ используя тот факт, что

ι [P, H]

$\iota[P,H]$ является эрмитовым, а затем, используя стандартный аргумент, что если оператор

O

$O$ является эрмитовым и удовлетворяет

⟨ ψ | O | ψ ⟩ = 0

$\langle\psi|O|\psi\rangle=0$ для всех

ψ

$\psi$ тогда можно показать, что оператор является нулевым оператором. В любом случае, этот последний бит не важен, все, что нам нужно, это

⟨ ψ | [P, H] | ψ ⟩ = 0

$\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ .

Наконец, переход от квантовой классики с использованием теоремы Эренфеста

Поскольку у нас есть

⟨ ψ | [п, ЧАС] | ψ ⟩ знак равно 0

$\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ по теореме Эренфеста ,

\frac{г}{г т} ⟨ ψ | [п, ЧАС] | ψ ⟩ знак равно 0

$\dfrac{d}{dt}\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ Таким образом, мы показали, что среднее значение оператора импульса постоянно во времени, что означает, что классический импульс сохраняется (поскольку предполагается, что средние значения квантовых эрмитовых операторов отражают поведение соответствующих классических наблюдаемых величин). ). Плавник.

Мой ответ основан на обсуждении симметрий и законов сохранения из «Принципов квантовой механики», Р. Шанкара, $3^{rd}$ Издание, глава $11$ .

Квантовое объяснение третьего закона Ньютона.

Мохаммад Аль-Туркистани

Ответы (3)

Джолд

кд88

Кошка

Можно ли нарушить закон сохранения импульса?

Говорит ли неупругое столкновение о том, что мяч отскакивает к вам, когда его бросают на землю под углом?

Сохранение импульса и сохранение энергии

Столкновение объекта со стеной

Филдс и третий закон Ньютона

Почему в этой задаче о шкиве не сохраняется импульс?

Как изменяется закон сохранения импульса в неинерциальных системах отсчета?

Когда я двигаю рукой вперед в вакууме, мое тело будет двигаться назад?

Почему, несмотря на более высокую силу, объекты иногда не так сильно ускоряются?

Столкновение автомобиля и грузовика