Почему в этой задаче о шкиве не сохраняется импульс?

Шкив (и крепление к потолку) здесь являются частью системы. Из-за этого вы не можете просто использовать закон сохранения импульса для трех заданных масс.

Если бы конечная скорость была$v$, то общая энергия системы увеличилась бы, так как и чаша, и противовес двигались бы, а другая масса не замедлилась бы.

Вы не можете использовать уравнения сохранения импульса только для части системы. Если вы представите мяч, отскакивающий от пола, вы не сможете сказать, что импульс мяча сохраняется до и после отскока. Вы также должны учитывать изменение импульса пола.

В вашей задаче изменение импульса потолка будет небольшим, но существенным.

Поскольку вы не знаете изменение этого последнего компонента, вы не можете использовать закон сохранения для определения оставшегося импульса трех других масс.

Давайте изменим ситуацию, чтобы сделать это более явным. Вместо противовеса возьмите две кастрюли и два груза.

Давайте представим, что шкив и струна не имеют массы, поэтому две чаши и два груза имеют общую массу$4m$. Если шары имеют скорость$v$, то полный импульс шкива внутри помещения равен$1mv + 1mv = 2mv$.

Но по симметрии мы видим, что шкив не будет вращаться. Если мы представим кастрюли в покое после столкновения, мы обнаружим, что импульс теперь равен$0mv$.

Если соединение шкива с потолком/комнатой/землей не является частью системы, то мы говорим, что силы от этого соединения были внешними и изменили общий импульс. Мы не можем использовать закон сохранения импульса за счет внешних сил.

Если потолок/комната/земля являются частью системы, то после столкновения они приобрели$2mv$нисходящий импульс, так что вся система не изменится. Если мы представим ящик почти невесомым и находящимся в космическом корабле, а не на Земле, весь ящик будет двигаться вниз со скоростью$v/2$после того, как шары попали в кастрюли. (в предположении полностью неупругого столкновения). Чем массивнее ящик, тем медленнее он движется, чтобы сохранить скорость. Предположим, что он прикреплен к зданию/земле, и импульс все еще изменяется, но изменение скорости больше не поддается измерению.

В вашем расчете конечного импульса после столкновения есть ошибка со знаком. Шкив служит для изменения направления движения. Это означает, что массе, движущейся вверх по левой стороне шкива, присваивается математический знак «+» для соответствующей скорости. Когда струна проходит через шкив, направление движения меняется так, что нисходящей скорости с правой стороны шкива присваивается математический знак «+». Таким образом,$mV + mV + mV = 3mV$. С$V = \frac {v}{3}$,$3mV = mv$, и импульс сохраняется.

По моему мнению, импульс массы на другой стороне не должен быть отрицательным, потому что рассматриваемая система является связной системой, т. е. передача импульса массе, висящей на другой стороне шкива, передается через струну шкива. . Я согласен с @BowlOFRed в отношении вклада импульса, передаваемого потолку, однако ситуация требует, чтобы мы рассмотрели идеальный шкив (полное отсутствие вращательного трения), что означает, что большая часть импульса, передаваемого через струну шкива, влияет на массу с другой стороны, и вклады в потолок незначительны, поэтому нам все равно (EDIT: см. комментарии). Итак, когда мы записываем уравнения,

Потолок прикладывает к шкиву общую направленную вверх силу величины$2T$, чтобы противодействовать силе равной величины, приложенной массами. Таким образом, результирующая сила, действующая на систему (состоящую из трех масс, безмассового шкива и струны), не равна нулю. С$\int {Tdt} = mV = mv/3$,$\int 2Tdt = {2 \over 3} mv$что является количеством потерянного импульса.

Есть временное напряжение$\Delta T$в струне, что вызовет изменение количества движения противовеса, чаши и массы на чаше. В потолке шкив передает на опору удвоенную силу:

Изменение импульса трех компонентов (с + направлением вверх):

Это изменение импульса обеспечивается реакцией$2\Delta T \delta t$на шкиве/потолке:

Для противовеса:

И для всей системы

Что согласуется с более ранним определением, что

Обратите внимание: если бы два компонента вашей системы находились на одной прямой (прямая струна, без шкива), знак изменения количества движения противовеса был бы противоположным, и не было бы никакой загадки.

На мой взгляд, утверждение о сохранении импульса гласит, что «импульс системы сохраняется, если на нее не действует никакая внешняя сила». Я думаю, что ошибка, которую вы совершили, заключается в том, что вы пытались применить принцип сохранения импульса вдоль направления y, вдоль которого действует гравитация (внешняя сила для системы). Так что, по моему мнению, сохранение импульса недействительно в упомянутой ситуации.

Пусть I — импульс, переданный струне при падении мяча на доску. Теперь, поскольку гравитация является непрерывной импульсивной силой, поэтому для целей расчета ею можно пренебречь. И импульс будет передаваться и на другую сторону струны.

Пусть P' — конечный импульс, а p — начальный импульс. Итак, I=P'-PI=2мВ-мю. -1 И, -I= мВ. -2 Складывая 1 и 2, мы получаем 3 мВ=мю Итак, V=u/3.