Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени

Я изучаю теорию инфляции для скалярного поля ф в искривленном пространстве-времени. Я хочу получить уравнения Эйлера-Лагранжа для действия:

я [ ф ] "=" ∫ [ 1 2 г мю ν ∂ мю ф ∂ ν ф + В ( ф ) ] − г г 4 Икс

Уравнения Эйлера-Лагранжа для скалярного поля имеют вид

∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) − ∂ л ∂ ф "=" 0

∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) "=" 1 2 ∂ мю ( − г г мю ν ∂ ν ф )

∂ л ∂ ф "=" ∂ [ − г В ( ф ) ] ∂ ф

Но, согласно книге, полученное уравнение

1 − г ∂ мю ( − г г мю ν ∂ ν ф ) "=" ∂ В ( ф ) ∂ ф

Что я делаю не так?

Во-первых, вы забыли 2 фактор, потому что кинетический член квадратичен по первым производным от ф , а во-вторых, − г не зависит от ф .

Ответы (1)

Правильное уравнение Эйлера-Лагранжа для скаляра в искривленном пространстве-времени:

∂ л ∂ ф "=" 1 − г ∂ мю [ − г ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ] ,
где плотность Лагранжа должна быть
л "=" 1 2 г мю ν ∂ мю ф ∂ ν ф − В ( ф )
и он не содержит − г фактор. Обратите внимание, что это то же самое, что и
∂ л ∂ ф "=" ∇ мю [ ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ] ,
в терминах ковариантной производной, ∇ мю .

Правая сторона

∇ мю [ ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ] "=" ∇ мю ( г мю ν ∂ ν ф ) "=" г мю ν ∇ мю ( ∂ ν ф ) ≡ ◻ ф ,
где верно второе равенство, поскольку ковариантная производная ∇ мю , коммутирует с метрическим тензором, г мю ν . Левая сторона
∂ л ∂ ф "=" − ∂ В ( ф ) ∂ ф .
Итак, уравнение движения для скалярного поля ф в искривленном пространстве-времени
◻ ф "=" − ∂ В ( ф ) ∂ ф .

Разве это не более обычно пишется как
∂ ( − г л ) ∂ ф ] − ∂ мю [ ∂ ( − г л ) ∂ ( ∂ мю ф ) ] "=" 0
?
Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v