Уравнение движения для нелинейной киральной сигма-модели

Я изо всех сил пытаюсь вывести уравнения движения для нелинейной сигма-модели, которая позже станет моделью WZW, в книге CFT Франческо и др. др. Соответствующий фрагмент приведен ниже. Действие дается

С "=" 1 4 а 2 ∫ г 2 Икс  Тр ( ∂ мю г − 1 ∂ мю г )
где, по-видимому, мы получаем, варьируя г → г + дельта г
дельта С "=" 1 2 а 2 ∫ г 2 Икс  Тр ( г − 1 дельта г ∂ мю ( г − 1 ∂ мю г ) ) .
Кажется, я не могу прийти к этому результату.

Я попытался вычислить это следующим образом

дельта  Тр ( ∂ мю г − 1 ∂ мю г ) "=" Тр ( ∂ мю дельта г − 1 ∂ мю г + ∂ мю г − 1 ∂ мю дельта г ) "=" Тр ( − ∂ мю ( г − 1 дельта г г − 1 ) ∂ мю г + ∂ мю г − 1 ∂ мю дельта г ) "=" Тр ( − ( ∂ мю г − 1 ) дельта г г − 1 ∂ мю г − г − 1 дельта г ( ∂ мю г − 1 ) ∂ мю г ) + 2 ∂ мю г − 1 ∂ мю дельта г ) "=" …
с использованием ∂ мю г − 1 "=" − г − 1 ∂ мю г г − 1 и цикличность в строке три. Хотя я пытался частично интегрировать его по-разному, я не могу прийти к тому же результату.

Я предполагаю, что должен быть лучший способ получить это. В частности, я не понимаю комментарий в книге (ниже), в котором они выводят какую-то формулу для А , Б независим от г , как это точно г который появляется в приведенном выше варианте. Может быть, кто-то может указать мне правильное направление, я бы с удовольствием завершил решение здесь.

Франческо и др. др.

Ответы (1)

Вы могли бы сделать хуже, чем изучить статьи Гюрси 1960-1, где он обнаруживает эти киральные модели (в 4D). Без контрольного топологического термина то, что вы пишете, еще не является моделью WZW : это простая киральная модель.

В любом случае, вы начали правильно, но не довели свой расчет до конца. Интегрирование по частям внутри интеграла, зацикливание внутри следа и использование тождества для вариации и производной обратного (и его вопиющего следствия ∂ г − 1 ∂ г "=" г − 1 ∂ г ∂ г − 1 г на последнем шаге) вы получаете

∫ дельта  Тр ( ∂ мю г − 1 ∂ мю г ) "=" Тр [ ∂ мю дельта г − 1 ∂ мю г + ∂ мю г − 1 ∂ мю дельта г   ] "=" ∫ Тр [ − ∂ мю ( г − 1 дельта г г − 1 ) ∂ мю г − ( ∂ мю ∂ мю г − 1 )   дельта г ] "=" ∫ Тр [ − ∂ мю ( г − 1 дельта г )   г − 1 ∂ мю г − г − 1 дельта г   ∂ мю г − 1 ∂ мю г + ∂ мю ( г − 1 ∂ мю г   г − )   дельта г ] "=" ∫ Тр [ г − 1 дельта г   ∂ мю ( г − 1 ∂ мю г ) − г − 1 дельта г   ∂ мю г − 1 ∂ мю г + ∂ мю ( г − 1 ∂ мю г )   г − дельта г + ( г − 1 ∂ мю г ) ∂ мю г −   г г − 1 дельта г ] "=" 2 ∫ Тр [ г − 1 дельта г     ∂ мю ( г − 1 ∂ мю г ) ]   .
На последнем шаге второй член отменяет четвертый.

Это стандартные маневры для киральных моделей, и в очень ограниченном диапазоне: их не так много. Они, конечно, связаны с (15.9), но если вы будете следовать ему и это вам не поможет, просто пролистайте приведенный выше формальный каскад здесь.

И да, есть лучший способ: профессионалы обычно используют токи, Дж мю "=" г − 1 ∂ мю г , чтобы действие приняло прозрачную форму Сугавары,

4 а 2   С "=" − ∫ Тр [ Дж мю Дж мю ] ⟹ 4 а 2   дельта С "=" − 2 ∫ Тр [ Дж мю дельта Дж мю ] .

Теперь, так как дельта Дж мю "=" г − 1 ∂ мю дельта г − г − 1 дельта г   Дж мю , просто есть

4 а 2   дельта С "=" 2 ∫ Тр [ г − 1 дельта г   Дж мю Дж мю + ∂ мю ( Дж мю г − 1 ) дельта г ] "=" 2 ∫ Тр [ г − 1 дельта г   Дж мю Дж мю − Дж мю Дж мю   г − 1 дельта г + ∂ мю ( Дж мю )   г − 1 дельта г ] "=" 2 ∫ Тр [ г − 1 дельта г   ∂ мю ( Дж мю ) ] .

Этот язык вполне может пощадить здравомыслие при введении, например, 7D-встроенного термина WZW.

Спасибо за подсказку о вопиющих последствиях ∂ г ∂ г − 1 "=" . . .
Уравнение движения для нелинейной киральной сигма-модели
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v