Лагранжиан уравнения Клейна-Гордона

Рассмотрим следующую лагранжеву плотность

л ( Φ , ∂ мю Φ ) "=" − 1 2 ∂ мю Φ ∂ мю Φ − м Φ 2 2 .

Я хочу рассчитать уравнение движения, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, чтобы вывести уравнение Клейна-Гордона. Уравнение EL утверждает

∂ л ∂ Φ − ∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю Φ ) "=" 0
Итак, я рассчитал ∂ л ∂ Φ "=" − м 2 Φ , а для другого члена
∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю Φ ) "=" − 1 2 ∂ мю ( ∂ ∂ ( ∂ мю Φ ) ) ( ∂ ν Φ г ν α ∂ α Φ ) ⏟ Новый бесплатный индекс,  ν "=" − 1 2 ∂ мю г ν α ( дельта ν мю ∂ α Φ + дельта α мю ∂ ν Φ "=" − 1 2 ∂ мю ( ∂ мю Φ + ∂ мю Φ ) "=" − ∂ мю ∂ мю Φ .

Мой вопрос в том, правильно ли я должен ввести бесплатный индекс ν , или есть более простые способы сделать это?

Это выглядит нормально. Можете ли вы подтвердить знак кинетического члена? Какую метрику вы используете?
В вашем последнем уравнении последнее выражение следует непосредственно из первого.
Вероятно, немного нетрадиционно, но наш профессор использует г "=" диаг ( − , + , + , + )
@my2cts, что ты имеешь в виду?
Я имею в виду, что вам не нужно использовать метрический тензор.
Это был именно мой вопрос, как я могу обойтись без него?

Ответы (1)

Мой вопрос в том, правильно ли я должен ввести бесплатный индекс ν , или есть более простые способы сделать это?

Вы не ввели бесплатный индекс ν поскольку он заключен по контракту с другим. Свободный индекс означает, что индекс не суммируется. Что вы сделали, так это представили г ты м м у индекс для суммирования.

Однако ответ на ваш вопрос заключается в том, что нет ничего проще, чем это сделать. В квантовой теории поля сделать это проще простого. Способ доказательства производной от ( ∂ Φ ) 2 это сделать именно то, что вы сделали, используя определение ∂ мю Φ ∂ ν Φ г мю ν а затем используйте правило продукта.

Полученное уравнение Кляйна-Гордона не должно зависеть от того, какое соглашение вы используете для метрики, поскольку вы можете просто умножить на знак минус, чтобы получить правильные относительные знаки минус.

Однако вышеизложенное может создать у вас впечатление, что уравнения движения не будут «выглядеть» по-разному в разных метриках. Но это было бы неправильно. Уравнения Максвелла являются прекрасным примером этого.

∂ мю Ф мю ν "=" Дж ν ( + − − − )

и

∂ мю Ф мю ν "=" − Дж ν ( − + + + ) .

Уравнения выглядят иначе, но это не так. Действительно, «лишний» знак минус в последнем уравнении возникает из-за того, что А мю "=" ( − Φ , А ) в ( − + + + ) соглашение. Так что уравнения идентичны. Я думаю, что этот ответ может быть полезен.

Лагранжиан уравнения Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v