Задача с выводом уравнения Клейна-Гордона

Ваша проблема возникает, когда вы расширяете вариацию действия. Поскольку ваше действие теперь содержит вторые производные от ваших полей, у вас должно получиться что-то вроде

$$\begin{equation} \delta S=\int\mathrm{d}^dx\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\delta\phi+\cdots\right), \end{equation}$$

где$\cdots$термины появляются, если у вас задействованы высшие производные (также может быть раздражающий фактор$2$где-то в этой последней строке, так как частные производные коммутируют, и мы не хотим пересчитывать). Мы также можем просто преодолеть трудности использования приведенного выше уравнения, просто найдя непосредственно$\delta\mathcal{L}$путем нахождения вариации первого порядка$\mathcal{L}$в отношении$\phi\to\phi+\delta\phi$. Это дает

$$\begin{equation} \begin{gathered} \mathcal{L}+\delta\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\phi+\delta\phi)\partial^2\left(\phi+\delta\phi\right)+\frac{1}{2}m^2\left(\phi+\delta\phi\right)^2\\ \Longrightarrow\delta\mathcal{L}=\frac{1}{2}\delta\phi\,\partial^2\phi+\frac{1}{2}\phi\,\partial^2\delta\phi+m^2\delta\phi. \end{gathered} \end{equation}$$

Включение этого в действие дает

$$\begin{equation} \delta S=\int\mathrm{d}^dx\left(\frac{1}{2}\partial^2\phi\,\delta\phi+m^2\phi+\frac{1}{2}\phi\,\partial^2\delta\phi\right), \end{equation}$$

и, наконец, дважды интегрируя по частям и устанавливая$\delta S=0$дает правильные уравнения движения.

Пусть лагранжиан Клейна-Гордона имеет вид:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \phi(x) \partial_\mu \partial^\mu \phi(x) + \frac{1}{2}m^2 \phi(x)^2,$$

где$\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$.

Идея состоит в том, что для уравнения Эйлера-Лагранжа мы требуем, чтобы:

$$\forall y: \frac{\delta S}{\delta \phi(y)} = 0.$$

Давайте посчитаем это:

$$\frac{\delta S}{\delta \phi(y)} = \frac{\delta}{\delta \phi(y)}\int d^4 x \Big(\frac{1}{2} \phi(x) \partial_\mu \partial^\mu \phi(x) + \frac{1}{2}m^2 \phi(x)^2\Big)$$ $$=\int d^4 x \Big(\frac{1}{2}\delta(x-y)\partial_\mu \partial^\mu \phi(x) + \frac{1}{2} \phi(x) \partial_\mu \partial^\mu \delta(x-y) + m^2 \phi(x)\delta(x-y)\Big),$$

где я использовал различные свойства функциональных производных. Используя интегрирование по частям дважды и отбрасывая граничные условия, это дает

$$\frac{\delta S}{\delta \phi(y)} = \int d^4 x \Big(\frac{1}{2} \partial_\mu \partial^\mu \phi(x) + \frac{1}{2}\delta(x-y) \partial_\mu \partial^\mu \phi(x)+m^2 \phi(x)\delta(x-y)\Big) = \frac{1}{2}\partial_{\mu,y}\partial^{\mu,y}\phi(y) + \frac{1}{2} \partial^{\mu,y}\partial_{\mu,y} + m^2 \phi(y),$$

где$\partial_{\mu,y} = \frac{\partial}{\partial y^\mu}$. Итак, мы действительно находим, что (изменение$y$к$x$для простоты):

$$\frac{\delta S}{\delta \phi(x)} = (\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\phi(x) = 0.$$

Есть более простой способ решить эту проблему.

Вы можете поменять знак лагранжиана и добавить четырехдиверсионность, не изменяя уравнения движения. Таким образом,

$$\mathcal{L}'=\partial_{\mu}\left(\frac{\phi\partial^{\mu}\phi}{2}\right)-\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\phi\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi+m^2\phi^2)$$ дает те же уравнения Эйлера-Лагранжа, что и$\mathcal{L}$, по желанию.

Подсказки:

1. ОП забыл изменить wrt. производные второго порядка в уравнении (3).

2. Обратите внимание, что когда плотность лагранжиана${\cal L}(\phi,\partial\phi,\partial^2\phi, \ldots)$зависит от пространственно-временных производных полей более высокого порядка, тогда уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) принимают вид

   $$0~\approx~\frac{\delta S}{\delta \phi} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} -\sum_{\mu} \frac{d}{dx^{\mu}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi)} + \sum_{\mu\leq \nu} \frac{d}{dx^{\mu}} \frac{d}{dx^{\nu}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi)} - \ldots,$$ где$\approx$символ означает равенство по модулю eoms, а многоточие$\ldots$обозначает возможные члены с более высокой производной.

3. В качестве альтернативы обратите внимание, что две лагранжевы плотности (1) и (2) отличаются только по модулю членов полной производной и общей нормализации и, следовательно, приводят к одним и тем же уравнениям EL, ср. например, этот пост Phys.SE.