Лагранжиан свободной частицы в специальной теории относительности

Это помогает написать полное действие:

$$S = \int \frac{-mc^2}{\gamma}dt - \int U dt$$

Первый член можно представить в гораздо лучшей форме, заметив, что$d\tau = \frac{dt}{\gamma}$представляет собственное время для частицы. Затем действие:

$$S = -mc^2\int d\tau - \int U dt$$ Первый член является инвариантным по Лоренцу, поскольку представляет собой всего лишь расстояние между двумя точками, заданное метрикой Минковского, и является хорошим в теории относительности. Однако второй член не равен (при условии, что $U$является скаляром); это никак не может быть релятивистским действием.

Есть два простых выхода:

1. Во-первых, просто изменить термин на$\frac{U}{\gamma}$. Это дает действие: $$S = -\int (mc^2+U)d\tau$$
2. Во-вторых, «продвинуть» термин (терминология, используемая в книге Зи « Гравитация Эйнштейна в двух словах ») до релятивистского скалярного произведения, дающего действие: $$S = -mc^2\int d\tau - \int U_\mu dx^{\mu}$$

У первого нет классического аналога в реальном мире (насколько я знаю), а второе более или менее представляет собой взаимодействие частицы со статическим электромагнитным полем. Но первоначальная форма восстанавливается из последней, когда пространственные компоненты$U_\mu$исчезнуть, оставив только$U_0$.

Кинетическая энергия получается преобразованием лагранжиана в гамильтониан (см. здесь ).

Очень неформальный подход состоял бы в том, чтобы понять, как развивается математика: поскольку «Действие» в лагранжевом смысле никогда не является вектором, оно должно быть скаляром. В данном случае это энергия. Из специальной теории относительности мы имеем постулат о том, что законы физики одинаковы для всех наблюдателей во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно:

$$L\gamma = -mc^2$$ $$or, L=-mc^2/\gamma$$

Мы понимаем, что для любой координаты следующая величина представляет обобщенный импульс :

$$p_i=\delta L/\delta\dot q_i=-mc^2\delta\sqrt{1-\beta^2}/\delta v =v\gamma mc^2/c^2 =\gamma mv$$ (В соответствии с релятивистским импульсом)

Поэтому можно ожидать , что окончательное выражение для лагранжиана примет вид:

$${\mathcal{L}}=-mc^2/\gamma -V(x)$$