Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Question

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Шафран

Учитывая некоторые координаты $(x_1,\dots, x_N)$ а также $h$ голономных ограничений, всегда должна быть возможность свести координаты к $n=N-h$ обобщенные координаты $(q_1,\dots, q_n)$ . Это гарантируется теоремой о неявной функции (ее применение редукции координат кратко упоминается здесь ).

Для ограничения $F(x, y) = 0$ относительно только двух координат, теорема о неявной функции утверждает, что функция $g$ поэтому $y = g(x)$ существует в окрестности точки $(x_0, y_0)$ удовлетворяющее ограничению, только если

$F$ непрерывно дифференцируема, и
$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) \neq 0$ .

Тем не менее, это не всегда так.

Пример 1: единичный круг

Как указал Эмилио Писанти, простой пример — частица, которая должна двигаться по единичному кругу в $(x, y)$ самолет: $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ с производной $\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 2y$ . При попытке устранить $y$ как координата, есть два локальных решения: либо $y = \sqrt{1-x^2}$ или же $y = -\sqrt{1-x^2}$ , поэтому можно легко описать движение частицы локально с помощью лагранжиана. К сожалению, есть проблема с двумя точками, $(1, 0)$ а также $(-1, 0)$ , потому что производная $\frac{\partial F}{\partial y}$ становится нулем, поэтому точки, соединяющие решения $y$ нарушают второе условие, и мы не можем описать глобальное движение частицы (частица может «прыгать» от одного решения к другому)!

Конечно, проблема в приведенном выше примере легко решается выбором других начальных координат, а именно полярных координат $(r, \theta)$ . Ограничение становится $F(r, \theta) = r - 1 = 0$ , что удовлетворяет обоим условиям.

Пример 2: четырехугольник

Представьте себе два маятника, подвешенных к неподвижному потолку, связанных друг с другом жесткой нитью:

Выбор $\alpha_1$ а также $\alpha_2$ в качестве начальных координат существует только одно ограничение: $d$ -строка, $l$ -струны и потолок всегда должны образовывать четырехугольник с заданными длинами всех сторон.

С некоторой неинтересной геометрией можно найти соотношение между $\alpha_1$ а также $\alpha_2$ , как сделано здесь в редакции. Дело в том, что при задании некоторых $\alpha_1$ , снова возможны два решения для $\alpha_2$ : $\alpha_2 = \phi_1(\alpha_1) + \phi_2(\alpha_1)$ или же $\alpha_2 = \phi_1(\alpha_1) - \phi_2(\alpha_1)$ , куда $\phi_1$ а также $\phi_2$ определяются как в ревизии, но не важны. Вот иллюстрация двух возможностей:

Ограничение можно записать как $F(\alpha_1, \alpha_2) = |\alpha_2 - \phi_1(\alpha_1)| - \phi_2(\alpha_1) = 0$ , что нарушает первое условие, или его можно записать в виде $F(\alpha_1, \alpha_2) = (\alpha_2 - \phi_1(\alpha_1))^2 - \phi_2(\alpha_1)^2 = 0$ , что нарушает второе условие. Опять же, я не могу описать глобальное движение системы.

В предыдущем примере это можно было решить, выбрав другие начальные координаты, но я не знаю, можно ли это сделать здесь. Это подводит меня к моим вопросам.

Вопросы

Всегда ли можно выбрать начальные координаты так, чтобы все ограничения удовлетворяли условиям теоремы о неявной функции?
Если да, то существует ли систематический способ их обнаружения?
Если нет, то возможно ли описать глобальное движение системы с помощью лагранжиана?

Любопытный Разум

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Гауранг Агравал

Страница «этот разговор был перемещен в чат» не найдена

Ответы (1)

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .
Страница «этот разговор был перемещен в чат» не найдена

Эмилио Писанти · Answer 1

Вообще говоря, при заданном наборе координат $x_1,\ldots,x_N$ под набором $h=N-n$ голономные связи вида $F_j(x_1,\ldots,x_N)=0$ , вы не сможете найти подмножество $x_1,\ldots,x_n$ ваших исходных координат, которые будут глобально функционировать как обобщенные координаты: теорема о неявной функции говорит вам, что локально вам гарантировано такое подмножество, но в целом это подмножество не будет работать везде.

Это своего рода основная причина, по которой мы работаем с обобщенными координатами. $q_1,\ldots,q_n$ , потому что они позволяют нам перепараметризовать доступное пространство конфигурации таким образом, что требуется меньше карт координат. Однако даже они не являются полным решением, потому что, вообще говоря, ограничения будут определять доступное координатное пространство как многообразие , для которого могут потребоваться две или более диаграмм в его минимальном атласе , т. е. вам никогда не гарантируется существование набора координат, который будет работать глобально. Некоторые примеры:

Частица в плоскости, ограниченной единичным кругом, лучше всего параметризуется через полярный угол, но даже это не идеально (не воспроизводит периодичность, если понимать ее буквально).
Для чего-то, где более ясно, что патчи координат просто не будут работать, рассмотрим, например, частицу в 3D, ограниченную поверхностью двойного тора : один патч координат просто не сможет справиться с ненулевым родом поверхности.

Вот почему аналитическая механика, если она сделана правильно (например, в стиле В. И. Арнольда ), работает абстрактно с конфигурационным пространством как с многообразием и признает, что координатные пятна могут быть только локальными — и это нормально. Это означает, что везде, где ваше конфигурационное пространство является регулярным многообразием, вы всегда можете найти работающую диаграмму и решить динамику явным способом, зависящим от координат; если решение выходит за край диаграммы, вы всегда можете использовать отдельную диаграмму, где все в порядке.

Однако для вашей конфигурации вам не нужно особенно придумывать, потому что основная топология проблемы, как правило, такая же, как у единичного круга, упомянутого выше. Это можно увидеть, перефразировав ограничение в виде $F(\alpha_1,\alpha_2) = d$ куда

Ф (α_{1}, α_{2}) знак равно ‖ (Д - л потому что (α_{2}), - грех (α_{2})) - (л потому что (α_{1}), - л грех (α_{1})) ‖ .

$F(\alpha_1,\alpha_2) = \bigg\|(D-l\cos(\alpha_2),-\sin(\alpha_2))-(l\cos(\alpha_1),-l\sin(\alpha_1))\bigg\|.$ Как вы это анализируете? Ну, взгляните на контурный график

F (α_{1}, α_{2})

$F(\alpha_1,\alpha_2)$ на

α_{1}, α_{2}

$\alpha_1,\alpha_2$ самолет (принимая

l = D / 2

$l=D/2$ для определенности):

Математическая графика

В зависимости от того, что $d$ то есть ваша система замыкается на одной из контурных линий сюжета, и по большей части это топологические круги самого скучного, самого ванильного вида. Это означает, что вы можете найти единую обобщенную координату углового типа, которая параметризует все многообразие конфигурационного пространства по модулю тех же проблем периодичности, что и для частицы, ограниченной единичным кругом.

Это не означает, что найти эту координату будет легко, и действительно (i) ее аналитическая форма, вероятно, будет довольно запутанной, и (ii) эта неразбериха будет отражена и усилена в уравнениях движения Эйлера-Лагранжа. В этом конкретном случае я не думаю, что можно что-то получить, пытаясь найти такую координату (в отличие от простого использования $\alpha_1$ а также $\alpha_2$ как независимые переменные на графиках, где они работают, получение и решение EOM Эйлера-Лагранжа по этой параметризации и просто понимание того, когда может потребоваться переключение графиков), но в конечном итоге это личный выбор.

При этом существуют некоторые (очень специфические) ситуации, когда координатное пространство может не быть многообразием, главным образом потому, что $F(\alpha_1,\alpha_2)$ не может иметь ненулевой градиент. Для вашей проблемы это происходит, например, в $d=0.9D$ линия контура, когда $l=0.95D$ , который выглядит так,

Математическая графика

т.е. он имеет пересечение в $\alpha_1=\alpha_2=0$ , где две руки «перекрещены», и вы можете выйти из конфигурации, оттянув одну руку и заставив другую следовать за ней, т. е. по двум разным маршрутам. Этот тип конфигурации является наихудшим, с которым вы столкнетесь в системах, которые вы упомянули ─, но, на самом деле, вы почти наверняка никогда не столкнетесь с ним, поэтому обычно можно отклонить эту возможность как патологический крайний случай, чтобы математики беспокоились. о.

Если вы настаиваете на том, чтобы справиться с этим, то, с точки зрения физика, обычно происходит то, что система будет иметь некоторую инерцию, и это будет иметь тенденцию вести ее по той же «ветви», по которой она движется. (Или, другими словами, вы параметризуете кривую в виде восьмерки обычным образом, с самопересечением, которое затем игнорируете.) Это будет работать для всех случаев, кроме тех, где система находится на пересечении с нулевой скоростью. , и в этом случае он останется там или прибудет только асимптотически (но, если вы действительно подтолкнете вещи, да: лагранжева механика не определена после того, как вы достигнете такой патологической точки).

Или, другими словами, такого рода проблемы на самом деле не являются проблемой.

Отличный ответ. Я могу только восхищаться этим.
Хотя у меня есть несколько замечаний по мелочам, просто чтобы проверить, не понял ли я что-нибудь неправильно. (1) «в отличие от простого использования $\alpha_1$ а также $\alpha_2$ как независимые переменные» , я предполагаю, что вы имеете в виду зависимые переменные, поскольку их зависимость — это то, о чем идет речь. (2) «это происходит, например, в $d=0.9D$ линия контура, когда $l=0.95d$ " Я думаю, вы имели в виду $l=0.95D$ , в противном случае $\alpha_1=\alpha_2=0$ не является допустимой конфигурацией.
(3) «эти координатные пятна могут быть только локальными — и это нормально». Мне трудно понять , как это нормально на практике. Для случая единичного круга, где $y=\pm\sqrt(1-x^2)$ , любое уравнение движения будет иметь особую точку для $x=\pm 1$ , так как же вы будете переключать диаграммы, когда движение между ними не определено?
(для (3), я должен признаться, что я новичок, когда дело доходит до топологии. Возможно, я неправильно понял точное значение многообразий, координатных участков или диаграмм, поэтому я надеюсь, что вопрос имеет смысл)
На (2): вы совершенно правы, это была опечатка.
В (1) я имею в виду использование нескольких разных графиков: двух, в которых $\alpha_1$ является независимым и $\alpha_2$ является зависимым, и два, в которых $\alpha_2$ является независимой переменной. Это похоже на ответ на (3): когда движение приближается к $(1,0)$ , вы просто переходите к диаграмме $x=\sqrt{1-y^2}$ и использовать $y$ как ваша независимая переменная там. Как только вы очистите эту точку, вы можете переключиться на другой знак $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ если вы так желаете.
Другими словами, идея диаграмм заключается не в том, что их границы точно совпадают, а в том, что их домены перекрываются, так что для любой заданной точки существует диаграмма, в которой точка находится внутри диаграммы.

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Шафран

Пример 1: единичный круг

Пример 2: четырехугольник

Вопросы

Любопытный Разум

Гауранг Агравал

Ответы (1)

Эмилио Писанти

Шафран

Шафран

Шафран

Шафран

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Голономные ограничения и степени свободы

Что такое голономные и неголономные связи?

Почему система должна быть голономной?

Действительно ли обобщенные координаты независимы?

Преобразование неголономных связей в голономные

Виртуальное перемещение

Вывод Даламбера уравнения Лагранжа - почему он может использовать как виртуальные, так и нормальные дифференциалы?

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Путаница с виртуальными смещениями