Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

У меня есть некоторые сомнения относительно действительно тривиальной и простой задачи, в которой я должен использовать ELE.

Предположим, у меня есть маятник, в котором веревка является пружиной, поэтому ее длина может меняться со временем. У меня масса М, а длина остатка пружины$\ell$. Я должен найти лагранжиан системы и уравнения движения.

Затем я начинаю искать$\mathcal{L} = T - V$

$$T = \frac{1}{2}m v^2$$

и найти$v$, помня, что$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$Я просто выполняю изменение координат с помощью

$$x = \ell\cos\theta$$ $$y = \ell\sin\theta$$

и я получу

$$v^2 = \dot{\ell}^2 + \ell^2\dot{\theta}^2$$

что приводит меня к кинетической энергии

$$T = \frac{1}{2}m\left(\dot{\ell}^2 + \ell^2\dot{\theta}^2\right)$$

Надеюсь, все в порядке, пока здесь

Затем Первая проблема: потенциал$V$. Я знаю, что для маятника я могу использовать$V = mg\ell\cos\theta$но, учитывая, что веревка — это пружина, следует ли добавить к этому термину силу упругого возврата$kx = k\ell\cos\theta$?

Это будет означать

$$V = (mg - k)\ell\cos\theta$$

но теперь возникает проблема:$(mg - k)$невозможно рассчитать, так как размеры$mg$не то же самое$k$так где я не прав?

РЕДАКТИРОВАТЬ ПОСЛЕ ПЕРВОГО ОТВЕТА - ПОНЯЛ ЭТО Я использовал Силу, в то время как я должен был использовать, конечно, потенциал$\frac{1}{2}kx^2$

Тогда потенциал становится

$$V = mg\ell\cos\theta - \frac{1}{2}k\ell^2\cos^2\theta$$

Продолжая

Узнав, что$V$есть, я получаю$\mathcal{L} = T - V$так что я готов к ELE:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = 0$$

Я знаю, что у нас есть соглашение Эйнштейна о$i$-index, поэтому здесь возникает другая проблема: мои обобщенные координаты будут$q_1 = \ell$и$q_2 = \theta$.

Как будут записаны уравнения Эйлера-Лагранжа? Будет ли у меня два связанных уравнения или одно хаотическое уравнение?

ЭЛЕ

Так что я пришел к этим уравнениям Эйлера-Лагранжа. Принимая во внимание комментарий ниже, я действительно не знаю, хорошо ли называть$\ell = l - l_0$. Во всяком случае, это должны быть уравнения. Они правильные?

$$m\ell^2\dot{\theta} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\left[mg - \frac{k}{2}\ell\right]\ell\sin\theta\right) = 0$$

$$m\dot{\ell} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(m\ell\dot{\theta}^2 - mg\cos\theta + k\ell\cos\theta\right)$$