Лазейка в теории чисел допускает альтернативное определение энтропии?

Question

Лазейка в теории чисел допускает альтернативное определение энтропии?

растяжка

Немного о посте

Прошу прощения за заголовок . Я знаю, это звучит безумно, но я не мог придумать альтернативу, которая была бы актуальна. Я знаю, что это «дикая идея», но, пожалуйста, прочитайте весь пост.

Кроме того, я не был уверен, стоит ли публиковать это в сообществе физиков или математиков.

Упомянутая книга - "Статистическая физика" Тони Гено.

Определения

$А (р) "=" количество простых множителей r$ $A(r)=\text{number of prime factors of r}$
Микросостояние по определению является квантовым состоянием всей сборки. (стр. 4)
Распределение состояний: это набор чисел $(n_1,n_2,\dots,n_j,\dots)$ определяется как число частиц в состоянии $j$ , который имеет энергию $\epsilon_j$ . Часто, но не всегда, это распределение будет бесконечным набором; наклейка $j$ должен пройти через все возможные состояния для одной частицы. Полезное сокращение для всего набора номеров распределения $(n_1,n_2,\dots,n_j,\dots)$ просто $\{ n_j \}$ (стр. 6)
Обычно и особенно для большой системы каждый дистрибутив $\{n_j \}$ будет связано с очень большим количеством микросостояний. Это мы называем $t(\{ n_j \})$ (стр. 9)
$t(\{ n_j \})= \frac{N!}{\prod_j n_j !}$ (стр. 10)
$S= k_b \ln(\Omega)$ (стр. 12)
$\Omega = \sum t( \{ n_j \}) \approx t( \{ n_j^* \}) =t^*$ где $t( \{ n_j^* \})$ максимальный срок (Страница 16)

Пролог

На странице 13 было написано следующее:

.. Для изолированной системы естественный процесс... как раз тот, при котором термодинамическая энтропия возрастает... Отсюда прямая связь между $S$ и $\Omega$ предлагается, причем монотонно возрастающая...
Для составной сборки, состоящей из двух узлов $1$ и $2$ скажем, мы знаем, что это целая сборка $\Omega$ дан кем-то $\Omega=\Omega_1 \Omega_2$ . Это согласуется с отношением... ( $S= k_b \ln(\Omega)$ )
... $\Omega=1$ соответствующий $S=0$ , натуральный нуль энтропии.

Если бы вышеизложенное было «строгим» требованием показать, что существует $S=k_b \ln(\Omega)$

Тогда я считаю, что нашел другую функцию, которая удовлетворяет вышеуказанным критериям:

С "=" к_{а} А (Ом)

$S= k_a A(\Omega)$

Где $k_a$ произвольная константа. Например $A(12)= A(2^2 \times 3 ) = 3$

Для решения пункта бюллетеня 1:

А (Икс) + А (у) "=" А (Икс у)

$A(x)+A(y)=A(xy)$

Например:

А (3) + А (33) "=" А (99) "=" 3

$A(3)+ A(33)= A(99)=3$

Мы также отмечаем

А (1) "=" 0

$A(1) = 0$

О его монотонном возрастании отметим допустимые значения $\Omega =\frac{N!}{\prod_j n_j !}$ . Следовательно, для допустимых значений $\Omega$ :

{Ом}_{1} > {Ом}_{2} ⟹ А ({Ом}_{1}) > А ({Ом}_{2})

$\Omega_1 > \Omega_2 \implies A(\Omega_1) > A(\Omega_2)$

Следовательно, мы можем использовать (как альтернативное определение):

С "=" к_{а} А (Ом)

$S = k_a A(\Omega)$

Логично наверное( $S=k_b \ln(\Omega)$ ) является производным результатом статистической физики (стр. 13)

Строгое лечение

Мы можем вывести распределение Больцмана обычным способом с некоторыми изменениями... Мы признаем ограничения:

\sum_{Дж} н_{Дж} "=" Н

$\sum_{j} n_j = N$

\sum_{Дж} н_{Дж} ϵ_{Дж} "=" U

$\sum_{j} n_j \epsilon_{j}= U$

мин (Ом) "=" мин п (Ом) "=" мин А (Ом) ⟹ н_{Дж}^{*} "=" опыт (α + β ϵ_{Дж})

$\min (\Omega) = \min \ln( \Omega) = \min A( \Omega) \implies n^*_j = \exp(\alpha + \beta \epsilon_j)$

Используя условие, что

\sum_{Дж} н_{Дж} "=" Н ⟹ мин (Ом) ⟹ н_{Дж} "=" \frac{Н}{Z} опыт β ϵ_{Дж}

$\sum_{j} n_j = N \implies \min (\Omega) \implies n_j = \frac{N}{Z} \exp{\beta \epsilon_j}$

где $Z = \sum_j \exp{\beta \epsilon_j}$

Однако это не дает обычного вида $\beta$

\begin{aligned} г (п (Ом)) & "=" г (п т^{*}) \\ "=" - \sum_{Дж} п н_{Дж}^{*} г н_{Дж} \\ "=" - \sum_{Дж} (α + β ϵ_{Дж}) г н_{Дж} [Используя распределение Больцмана] \\ "=" - β \sum_{Дж} ϵ_{Дж} г н_{Дж} [∵ Н фиксированный] \\ "=" - β (г U) \\ "=" - β (Т г С) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d (\ln(\Omega))& = \mathrm d(\ln t^*) \\&= -\sum_{j} \ln {n^*_j} \,\mathrm dn_j\\ &= -\sum_j (\alpha + \beta \epsilon_j) \,\mathrm dn_j \qquad [\textrm{Using Boltzmann distribution}]\\ & = -\beta \sum_j \epsilon_j \,\mathrm dn_j\qquad \qquad[\textrm{ $\because \;N$ is fixed}] \\&= -\beta (\mathrm dU)\\ &= -\beta (T\,\mathrm dS)\end{align}$ Вставка нового определения

S = k_{a} A (Ω)

$S=k_a A(\Omega)$

∴ β "=" \frac{- 1}{к_{а} Т} \times \frac{г п (Ом)}{г А (Ом)}

$\therefore \beta= \frac{-1}{k_a T} \times \frac{\mathrm d \ln(\Omega)}{\mathrm d A(\Omega)}$

Вопросы

Эта работа правильная? Кто-то уже работал над этим? (Если да, дайте ссылку, пожалуйста) и допускает ли лазейка в теории чисел альтернативное определение энтропии?

PS: В идеале я хотел бы задать много дополнительных вопросов, но я думаю, что сначала мне нужно знать, правильно ли это.

Связанный

асимптотические и монотонно возрастающие свойства функции простой факторизации?

Дэвид З.

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Ответы (1)

Лазейка в теории чисел допускает альтернативное определение энтропии?

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

любопытный разум · Answer 1

Хотя это забавное совпадение, это недопустимое альтернативное выражение для энтропии в целом, поскольку энтропия распределения вероятностей (что строго скрывается за странным словом «макросостояние») в более общем виде определяется выражением

\begin{matrix} (1) & С "=" - к_{Б} \sum_{я} п_{я} п (п_{я}) \end{matrix}

$S = - k_B \sum_i p_i\ln(p_i) \tag{1}$ и становится только

\begin{matrix} (2) & С "=" к_{Б} п (Ом) \end{matrix}

$S = k_B \ln(\Omega) \tag{2}$ в случае равномерного распределения, при котором каждое состояние в пределах

Ω

$\Omega$ равновероятно. Фундаментальный постулат термодинамики состоит именно в том, что равновесные системы описываются такими однородными распределениями.

(1)

$(1)$ , и не

(2)

$(2)$ , который дает энтропию для всех статистических систем, равновесных или нет.

Кроме того, это $(1)$ который обобщается на квантовый случай, где тогда энтропия определяется выражением

\begin{matrix} (3) & С (р) "=" к_{Б} Т р (р п (р)) \end{matrix}

$S(\rho) = k_B \mathrm{Tr}(\rho\ln(\rho))\tag{3}$ для

ρ

$\rho$ матрица плотности, квантовая версия статистического распределения вероятностей. В частности, пытаясь применить

A

$A$ к матрице плотности не имеет смысла.

Позвольте мне также отметить, что $A(r)$ и $\ln(r)$ различаются по поведению роста: пусть $x = \prod_i p_i^{r_i}$ быть целым числом с простыми множителями $p_i$ . Затем

\begin{aligned} А (Икс) & "=" \sum_{я} р_{я} \\ п (Икс) & "=" \sum_{я} р_{я} п (п_{я}) \end{aligned}

$\begin{align} A(x) & = \sum_i r_i \\ \ln(x) & = \sum_i r_i \ln(p_i) \end{align}$ и хотя логарифм является монотонно возрастающей функцией, функция подсчета простых чисел

A

$A$ не является:

A (3) = 1, A (4) = 2, A (5) = 1

$A(3) = 1,A(4) =2,A(5)=1$ . Так что ваше определение заметно отличается от обычного определения — ваша энтропия не возрастает монотонно с доступными микросостояниями. В частности, поскольку существует бесконечно много простых чисел, функция

A

$A$ ведет себя все более странно при высоких значениях

Ω

$\Omega$ - и, в частности, упадет до второго наименьшего значения,

1

$1$ для сколь угодно высокого

Ω

$\Omega$ . Должно быть очевидно, что это не моделирует обычную термодинамику и, в частности, не может быть частным случаем термодинамики.

(1)

$(1)$ . Вы говорите, что хотите разрешить только специальные значения для

Ω

$\Omega$ на которой

A

$A$ монотонно возрастает , но затем вы снова ограничили достоверность своей формулы системами, в которых

Ω

$\Omega$ ведет себя действительно так (я думаю, у вас есть какое-то предположение об «идеальном газе» или «все частицы неразличимы»).

Все, что показывает этот пример, это то, что энтропия как функция $\Omega$ не фиксируется однозначно функциональным уравнением $f(x_1x_2) = f(x_1)+f(x_2)$ и $f(1) = 0$ если требуется, чтобы это удерживалось только на целых числах. Решение $\ln$ становится единственным, только если требуется, чтобы решение было непрерывной функцией на положительной действительной прямой.

Согласованный $\ln(x)$ не является монотонно возрастающей функцией... $\ln(\Omega)$ является (своего рода) монотонно возрастающей функцией ... Какая разница? Вызов разрешенных значений $\Omega= \frac{N!}{\prod n_j!}$ ... Имея это в виду ... $ln(\Omega) = \ln(N!) - \sum \ln(n_j!)$ Мы не можем, если ограничимся этим набором $\Omega$ затем $\Omega_1 > \Omega_2 \implies A(\Omega_1)>A(\Omega_2)$
@AnantSaxena: я не понимаю, что вы имеете в виду. Я обращаюсь к вашему ограничению специальными значениями $\Omega$ - это ограничение определенными системами (по общему признанию, наиболее часто встречающимися в термодинамике). Я даю несколько указаний, почему использование $A$ может работать для этих систем, но не может обобщать более широкую картину — картину неравновесной механики, неэргодических систем или квантовых систем, в то время как $\ln$ без труда обобщает. Как вы думаете, что в этом недействительно?
Извините, кажется, вы были правы ... "Вы говорите, что хотите разрешить только специальные значения для $\Omega$ на которой $A$ монотонно возрастает, но затем вы снова ограничили достоверность своей формулы системами, в которых $\Omega$ ведет себя именно так»… Есть ли у вас какие-либо представления о физических особых случаях? (Если да, не могли бы вы уточнить подробнее?)
Просто комментарий. Согласно math.stackexchange.com/a/1639781/430082 . Приблизительно правильное определение большого $\Omega$ (Микрогосударства) $\log \log \Omega$

Лазейка в теории чисел допускает альтернативное определение энтропии?

растяжка

Немного о посте

Определения

Пролог

Строгое лечение

Вопросы

Связанный

Дэвид З.

Ответы (1)

любопытный разум

растяжка

Любопытный Разум

растяжка

Более анонимно

Термодинамическое определение энтропии, описывающее обратимые процессы

Как понять температуры разных степеней свободы?

Всегда ли энтропия увеличивается с температурой? [дубликат]

Третий закон термодинамики и энтропия

Почему невозможна абсолютная температура 0K0K0 K?

Сколько энергии заработает демон Максвелла?

Как S=klnWS=kln⁡WS = k\lnW относится к утверждению, что тепло не переходит от холодных объектов к горячим?

Проблема с осмыслением «температуры» колоды карт.

Доказывает ли теорема о флуктуациях второй закон термодинамики?

Применимо ли утверждение Клаузиуса о втором законе к микроскопическим явлениям? [дубликат]