Линейная скорость против угловой скорости

Книга немного сбивает с толку - но и она, и вы правы.

Да, точка P описывает круговой путь; это означает, что в любой момент он имеет скорость$v=\omega r$.

Точка сама по себе не имеет «угловой скорости»; вы не можете сказать, что он вращается, потому что у него нет углового момента относительно его центра масс. Требуется постоянное (центростремительное) ускорение, чтобы оставаться на круговой траектории.

С другой стороны, можно видеть, что вся линия OP вращается: если она имеет массу на единицу длины, полная энергия будет больше, чем кинетическая энергия ее центра масс (который движется со скоростью$v=\frac12\omega r$). Каждая точка на линии имеет различную скорость (потому что она имеет различное расстояние$r$к центру вращения). Так что не имеет особого смысла говорить о скорости ОП.

Только твердые тела могут иметь угловую скорость по определению. Забудьте непрофессиональное определение твердого тела, твердое тело в математике выглядит следующим образом:

Рассмотрим пространство R3, где каждая точка имеет вектор положения с 3 координатами. Это само по себе является «неподвижным» телом, телом, которое не движется. Тело — это пространство R3, в котором ни одна точка не движется относительно другой. В традиционном пространстве R3 все точки фиксированы, поэтому они не перемещаются друг относительно друга.

Теперь держите в уме это фиксированное пространство R3. Мы определяем другое пространство R3, которое накладывается на фиксированное пространство R3, так что каждая точка в фиксированном пространстве R3 соответствует другой точке в новом пространстве R3. Разница в том, что это новое пространство R3 движется, но движется ВМЕСТЕ, так что внутри пространства R3 нет относительного перемещения его точек между собой. Это твердое тело, и его угловая скорость — это угловая скорость изменения твердого тела вокруг его оси вращения.

Следовательно, когда точка движется КАК ЧАСТЬ ТЕЛА с определенной угловой скоростью, мы говорим, что точка имеет эту угловую скорость. Если его движение не соответствует движению такого рода, то нельзя определить его угловую скорость.

Вопрос немного сбивает с толку, но позвольте мне попытаться изложить некоторую информацию таким образом, чтобы, надеюсь, ответить на вопрос. Я предполагаю, что леска представляет собой сплошной износ или тонкий стержень.

В таком случае каждая частица на стержне будет иметь линейную скорость$v$который уменьшается по мере продвижения от точки P к центру. Центр на самом деле имеет нулевую линейную скорость (представьте себе крыло веера, вы можете проследить движение внутреннего края крыла, но не внешнего. Причина в том, что скорость внешнего края больше, чем у внутреннего, поэтому трудно отслеживать глазами). Другой способ интерпретации заключается в том, что внешний край должен покрывать большую окружность (из-за большего радиуса), чем внутренний край (меньший радиус) за то же время.$t$. Таким образом, центр с нулевым радиусом имеет нулевую скорость.

Однако угловая скорость$\omega$измеряет угловую развертку провода ОП в единицу времени. Вы можете ясно видеть, что каждая точка на OP движется под одинаковым углом, и, следовательно, угловая скорость каждой точки на OP одинакова.

Таким образом, угловая скорость провода и каждой его точки одинакова, но линейная скорость уменьшается по мере движения от P к O.

Связь между линейной скоростью v и угловой скоростью определяется уравнением

$v = \omega r$

Математически также, поскольку$\omega$постоянно,$v$должно увеличиваться по мере$r$увеличивается и уменьшается по мере$r$уменьшает

Используйте эту заметку, чтобы найти ответ на вопрос о вращательном движении OP.

Вы можете посмотреть это видео по теме, сделанное мной для лучшего понимания

Вращение - угловое смещение, скорость и ускорение