Не всегда ли vvv равно ωrωr\omega r при угловом движении?

$v = |\vec{\omega}\times\vec{r}|= \omega r$всегда справедливо для твердого вращающегося тела. Здесь,$r$относится к расстоянию любой конкретной точки от выбранной оси вращения,$\omega$, угловая скорость тела относительно выбранной оси и$v$, линейная скорость этой точки, перпендикулярная радиус-вектору (или линии, соединяющей ось с этой точкой).

Например, на изображении, приведенном ниже, вы можете сказать

$$V_\perp =|\vec{\omega}\times\vec{r}|= \omega r = r \frac{d\phi}{dt}$$

Так что это, в общем, отношение между угловой скоростью и линейной скоростью точки. Это всегда верно.

Однако в задаче сказано другое. В проблеме,$v$относится к скорости центра масс кольца. Итак, задача как раз и говорит о том, что центр масс тела движется с определенной скоростью

$$v_{cm} = \frac{\omega R}{2}$$

Ничего страшного здесь нет, центр масс может двигаться с любой скоростью. Теперь, если вы выбрали центр масс в качестве центра вращения, то у вас есть вращение в$\omega$наложенный на перевод в$v_{cm}$. Любое перекатывающее движение можно разложить на чистое вращение и чистое поступательное движение, как показано ниже. Затем эти два эффекта могут быть наложены друг на друга.

Об этом центре масс,

$$v_{rot}=\omega r$$ Таким образом, точка контакта с землей (на расстоянии R от ЦМ), например, имеет линейную скорость $v_{cm} - R\omega$поскольку вращение и перемещение в этой точке противостоят друг другу. Как указывали другие, это не 0, и это означает, что между кольцом и землей в точке контакта существует некоторое относительное движение. Это называется скольжением.

Так что ваш друг был прав. Оба действительны и правильны. Но они относятся к разным вещам: одно к движению центра масс, а другое к движению любой точки тела.

Как упомянул Альфред Центавра, кольцо действительно смещается. Подумайте о кольце, центр которого неподвижен, но в то же время вращается. Четко$v=0$но$\omega\neq 0$.

В целом хорошо определенная связь между поступательной скоростью$v$и скорость вращения$\omega$существует в случае кольца, которое катится без проскальзывания. В противном случае нет никакого ограничения, которое связывает их.

Наконец, если кольцо катится без проскальзывания, то нижняя часть кольца, соприкасающаяся с землей, не движется (это определение качения без проскальзывания). Следовательно, вращательная составляющая движения точно компенсирует поступательную составляющую движения для этой точки. Из этого вы должны сделать вывод, что при скорости поступательного$v$, скорость вращения$\omega=v/R$, это формула, с которой вы знакомы.