Мгновенный центр вращения для двух соединенных шестерен

Точка C является мгновенным центром вращения для обеих шестерен, иначе они сломали бы зубья, если бы они скользили относительно друг друга. Аналогия – колесо на дороге, имеющее мгновенный центр вращения в нижней точке, при этом скорость верхней точки в два раза больше скорости автомобиля.

Насколько я понимаю, путаница заключается в том, что сначала вы вычисляете VO относительно точки A , которая движется сама по себе . В следующей строке вы вычисляете VA относительно точки O , которая тоже движется прямо в противоположном направлении к точке A. Поэтому результат удваивается.

Я бы сначала предположил, что большая шестерня остановилась (это означает, что нужно посмотреть в систему отсчета большей шестерни). Здесь точка C не движется, поэтому скорость точки A равна VA = - w2 * r (отрицательна, потому что A движется вниз). Затем позвольте вращаться большей шестерне (это означает, что посмотрите в системе отсчета Oxyz). Теперь мы должны добавить восходящую (положительную) скорость VC к VA, так что получим VA = - w2 * r + VC = - w2 * r + w1 * R. Наконец, примем угловую скорость руки как скорость точки A относительно O, деленное на длину плеча, то есть (R+r). Таким образом, получаем w = (w1*R - w2*r)/(R+r).

По-видимому, есть много способов справиться с этой проблемой. Мне кажется, проще сначала взглянуть на относительную систему отсчета.

Я бы подошел к этой проблеме, «думая», что механизм$A$это как на беговой дорожке. Итак, снаряжение$O$похоже на движение «назад», в то время как шестерня$A$пытается двигаться вперед. Вы можете легко вычислить скорость двух точек контакта и посмотреть, что произойдет.

Это проблема, которая включает только вычисление скоростей из других скоростей, нет необходимости учитывать влияние (силы).

Представьте систему такой, какой она выглядит в инерциальной системе, где точка контакта двух колес находится в состоянии покоя.

Поскольку точка контакта покоится, точки масс обоих колес, которые касаются друг друга, покоятся. Так как любое плоское движение твердого тела есть вращение в этой плоскости, то это означает, что точка касания является центром вращения обоих колес.

Угловые скорости такие же, как и в исходной инерциальной системе отсчета,$\omega_1$,$\omega_2$.

Тогда скорость центра 1 равна$\omega_1 R$, скорость центра 2 равна$\omega_2r$. Концы плеч имеют одинаковые скорости.

Рука также является твердым телом, совершающим плоскостное движение, поэтому она вращается в этой плоскости. Он вращается вокруг какой-то точки$P$где-то на бесконечной оси, определяемой двумя центрами колес. Обозначим через расстояние от этой точки$P$с точки$A$к$X$.

Угловая скорость руки вокруг$P$должно быть таким, чтобы конечные точки имели скорость выше. Это приводит к уравнениям

The $\omega$который решает эти два уравнения, действительно

Положение точки$P$- координировать$X$- также можно рассчитать.

Почему ваш ответ неверен? Потому что сначала вы вычисляете скорость$C$ предполагаемая точка$A$находится в покое. Тогда скорость, которую вы найдете для точки$O$ его скорость относительно точки$A$. Точно так же, когда вы вычисляете скорость точки$A$то, что вы найдете, на самом деле является его скоростью относительно$O$. Это одно и то же, только с разницей в знаках, поэтому, сложив их вместе, вы получите двойной правильный ответ.

Центр или вращение находятся не там, где соприкасаются эти две шестерни, а в точке, расположенной ближе к центру меньшей шестерни.