Линейность квантовой механики и нелинейность макроскопической физики

Существует слишком распространенное заблуждение, что, поскольку уравнение Шредингера является линейным, нелинейные явления (например, хаос) являются только классическими. Волновая функция действительно подчиняется линейному уравнению, уравнению Шредингера, но она не имеет прямого отношения к наблюдаемой физике. Наблюдаемые величины, как и математические ожидания операторов, подчиняются нелинейным уравнениям. По сути, во много раз те же самые уравнения, что и их классические аналоги, с небольшими исправлениями.

Предполагая, что вы имеете в виду «линейный» в математическом смысле «сумма двух решений соответствующего уравнения также является решением», нет особой причины, по которой макроскопические объекты по своей сути нелинейны. На самом деле, в сообществе квантовых основ есть большой объем работы о том, как заставить макроскопические объекты вести себя линейно, но выглядеть нелинейно. В этом весь смысл таких вещей, как многомировая интерпретация квантовой механики и исследования декогеренции такими людьми, как В. Зурек. Может быть шкала, выше которой нецелесообразно видеть состояния суперпозиции, но это не значит, что они не могут существовать.

Если вы не это имеете в виду, то я не знаю, что вам ответить.

Динамика среднего поля, описывающая эффективную эволюцию частицы в системе с очень большим числом частиц, нелинейна, даже если квантовая динамика линейна. Сходимость к динамике среднего поля была строго доказана для квантовых систем многих частиц (и даже квантовых полей) и в настоящее время является тщательно изучаемым предметом математической физики. В этом смысле имеются прочные основания для связи между линейной квантовой динамикой и нелинейной эффективной эволюцией макроскопических систем.

Идея состоит в том, что эволюционирующие во времени редуцированные матрицы плотности квантовой системы сходятся в пределе$N\to\infty$, к проектору на решение нелинейных уравнений среднего поля (по крайней мере, для некоторых частных квантовых состояний, например, когерентных состояний, с общими состояниями картина усложняется, но нелинейная динамика определяет эволюцию в пределе).

Линейность в квантовой механике не имеет ничего общего с ее сложностью. Спин с двумя состояниями может быть описан простой матрицей 2 на 2; однако 30 взаимодействующих спинов, как правило, должны описываться матрицей размером 1 миллиард на 1 миллиард. Он экспоненциально растет с увеличением числа спинов, для$10^{23}$вращения, вам может понадобиться матрица размера$2^{10^{23}}$. Это не легко понять и не просто в большинстве смыслов. Если вы изучите некоторую статистическую механику, вы будете знать, что это число достаточно велико, чтобы возникло новое эмерджентное явление.

Есть другая «область линейности»;$\ddot{x}=-x$представляет собой линейное уравнение с решениями, нелинейными во времени.