Должны ли собственные наборы взвешиваться в |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle?

На странице 37 книги Дирака « Принципы квантовой механики» говорится:

Условие для собственных состояний ξ Таким образом, для формирования полного набора необходимо сформулировать, что любой кет | п ⟩ может быть выражена как интеграл плюс сумма собственных кетов ξ , т.е.

| п ⟩ "=" ∫ | ξ ′ с ⟩ д ξ ′ + ∑ р | ξ р д ⟩

где | ξ ′ с ⟩ , | ξ р д ⟩ все собственные кеты ξ , метки c и d вставлены, чтобы различать их, когда собственные значения ξ ′ и ξ р равны, и где интеграл берется по всему диапазону собственных значений, а сумма берется по любому их выбору.

Я нахожу непоследовательным, что собственные значения под интегралом взвешиваются тем, что кажется дифференциальным собственным значением д ξ ′ , но все собственные наборы при суммировании взвешиваются значением 1. Правильно ли это?

Ответы (2)

Если собственные наборы определены с точностью до произвольных констант, можно записать сумму без каких-либо коэффициентов.

каждый кет-вектор может быть выражен как сумма набора собственных векторов, взвешенных за единицу? Мне трудно в это поверить.
omyojj, можно поподробнее?
@Physikslover отмечает, что веса затем, по сути, поглощаются собственными кодами, которые больше не нормализуются.

Более точно ситуацию можно описать с помощью разрешения тождества для самосопряженного оператора. Итак, пусть Икс "=" Икс * (Дирак ξ ) — самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС с пустым сингулярным непрерывным спектром. Затем

Икс "=" ∫ Λ λ Е ( д λ ) ,
где { Е ( . . ) } является разрешением личности для Икс и Λ ⊂ р его спектр. В частности Е ( р ) "=" я , тождественный оператор. Мы можем разложить на дискретный и непрерывный спектр
Икс "=" ∑ н ∑ м λ н | ф н м >< ф н м | + ∫ λ Е с о н т ( д λ ) ,
где ф н м являются ортонормированными дискретными собственными состояниями. Субиндекс м обозначает возможное вырождение дискретных состояний (подумайте об угловом моменте в задаче со сферическим потенциалом, таким как кулоновский потенциал). С непрерывным спектром нельзя связать собственные состояния, интегрируемые с квадратом, но во многих случаях существует разложение по собственной функции
Е с о н т ( д λ ) "=" | ψ л с >< ψ л с | д λ .
Подумайте о собственных функциях плоской волны оператора импульса
п "=" ∫ д к к | ψ к >< ψ к | , ψ к ( Икс ) =< Икс | ψ к >= ( 2 π ) − 1 / 2 опыт ⁡ [ я к Икс ] ,
где ψ к это дельта - функция нормализовалась,
∫ д Икс ψ к ( Икс ) ψ л ( Икс ) ¯ "=" дельта ( к − л ) .
Обратите внимание, что в непрерывный спектр могут входить дискретные собственные значения. В более сложных случаях здесь также могут присутствовать вырождения. Теперь рассмотрим Дирака | п > .
| п > "=" ∫ Λ Е ( д λ ) | п >= ∑ н ∑ м | ф н м >< ф н м | п > + ∑ с ∫ Λ с о н т д λ | ψ λ с >< ψ λ с | п > ↔ ∑ р | ξ р д > + ∫ д ξ ′ | ξ ′ с > .
Обратите внимание, что ξ р д ↔< ф н м | п > вообще говоря, не нормированы на единицу.

На самом деле подход Дирака, хотя и привлекателен интуитивно, несколько неточен.

Должны ли собственные наборы взвешиваться в |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v