Линейность квантовой механики?

Теорема о запрете клонирования утверждает, что квантовое состояние невозможно.$|\psi\rangle$эволюционировать в две разделимые (незапутанные) копии, описываемые состоянием тензорного произведения$|\psi\rangle|\psi\rangle$.

Доказательство сводится к тому простому наблюдению, что при выражении$|\psi\rangle$в какой-то основе${|0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, ...}$:

$$|\psi\rangle = \alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle + \alpha_2 |2\rangle + ...$$

операция клонирования была бы унитарной эволюцией формы:

$$U(\alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle + ... ) = \alpha_0^2 |0\rangle|0\rangle + \alpha_0 \alpha_1 |0\rangle|1\rangle + \alpha_1 \alpha_0 |1\rangle|0\rangle + \alpha_1^2 |1\rangle|1\rangle...$$

Это приводит к противоречию, так как унитарный оператор$U(..)$является линейным и никогда не может создавать такие амплитуды, как$\alpha_0^2$и$\alpha_0\alpha_1$которые являются квадратичными функциями$\alpha_i$.

Итак, линейность, о которой говорит автор, — это линейность унитарной эволюции. В квантовой физике эволюция описывается унитарными операторами, которые преобразуют входящие состояния в исходящие состояния, которые представляют собой линейную комбинацию входящих состояний.

«Линейность квантовой механики» на самом деле является ссылкой на линейность операторов, используемых в ней квантовой механикой. Это означает, что для линейного оператора$A$(по самому определению линейности),

$$A\bigl(\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle\bigr)=\alpha A\lvert\Psi\rangle + \beta A\lvert\Phi\rangle,$$ где $\alpha$и $\beta$являются комплексными числами.

То, как это применимо к теореме о запрете клонирования, довольно просто. Оператор клонирования должен удовлетворять следующему: существует вектор$\lvert \Xi \rangle$такое, что для любого$\lvert \Psi \rangle$, у нас есть

$$A\lvert\Psi\rangle \lvert\Xi\rangle= \lvert \Psi\rangle \lvert\Psi\rangle.$$

Однако,$\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle$является таким же действительным состоянием, как и$\Psi$. Таким образом, в сочетании с приведенным выше уравнением для линейных операторов (что все равно, что сказать «из-за линейности квантовой механики» ), это означает, что

$$A (\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle\bigr) \lvert\Xi\rangle= \alpha A\lvert\Psi\rangle \lvert\Xi\rangle +\beta A\lvert\Phi\rangle\bigr \lvert\Xi\rangle =\alpha \lvert\Psi\rangle \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle\bigr \lvert\Phi\rangle.$$ Это не то, что мы хотели, поскольку реальная копия начального состояния была бы $(\alpha \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle)(\alpha \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle)$.